Quesiti - Testo

Trovi il testo dei 10 quesiti che sono stati assegnati alla seconda prova di matematica della sessione ordinaria per le scuole italiane all'estero in Europa della maturità 2015.

Appunti

Qual è la strategia migliore per scegliere i £$5$£ quesiti da svolgere alla seconda prova? Una vera strategia purtroppo non esiste, però puoi seguire questi consigli:

  • Leggi bene tutti i £$10$£ quesiti;
  • Accanto ad ognuno scrivi l'argomento di matematica che ti sembra utile per risolverlo;
  • Quanti di questi argomenti hai svolto e ricordi?
    • Se ci sono almeno £$5$£ quesiti in cui sai proporre una buona strategia matematica risolutiva, beh sei fortunato! Scegli quelli e inizia a svolgerli;
    • Altrimenti svolgi subito i quesiti sugli argomenti che conosci e poi concentrati sugli altri. Spesso l'argomento che hai individuato e che credi di non aver fatto a scuola è legato a qualche cosa che invece conosci: guarda le formule, analizza il testo e cerca tutti i legami possibili con gli argomenti che sai.

Scrivi sempre le tue idee e proponi strategie che ti sembrano sensate. Il tuo ragionamento, se corretto, verrà valutato positivamente, anche senza i calcoli!

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Testo del quesito 1

£$1)$£ La funzione £$f(x)$£ è continua per £$x \in [-4,4]$£ e il suo grafico è la spezzata passante per i punti: £$(-4,0)$£, £$(-3,1)$£, £$(-2,0)$£, £$(0,-2)$£, £$(1,0)$£, £$(3,2)$£, £$(4,1)$£. Qual è il valor medio di £$f(x)$£ per £$x \in [-4,4]$£?

Testo del quesito 2

£$2)$£ Da un'analisi di mercato è risultato che il £$32\%$£ della popolazione usa il prodotto £$A$£. Scelto a caso un gruppo di £$12$£ persone, determinare il valore medio, la varianza e la deviazione standard della variabile casuale $$X=\ll numero\, di\; persone\; che\; usano\; il\; prodotto \;A\gg.$$ Calcolare inoltre la probabilità che, all'interno del gruppo scelto, il numero di persone che usano detto prodotto sia compreso tra £$2$£ e £$5$£, estremi inclusi.

Testo del quesito 3

£$3)$£ In un riferimento cartesiano £$Oxyz$£, si verifichi che la circonferenza £$\gamma$£, intersezione della sfera di equazione £$x^2 +y^2+z^2=4$£ e del piano £$z=1$£ ha centro in £$(0,0,1)$£ e raggio £$\sqrt{3}$£. Si immagini che una sorgente di luce puntiforme £$S$£ sia situata sul semiasse positivo delle £$z$£. A quale distanza dal centro della sfera si deve trovare £$S$£ affinché £$\gamma$£ sia il confine tra la zona della sfera che risulta illuminata e quella che resta in ombra?

Testo del quesito 4

£$4)$£ Sia £$P(x)=x^2+b \, x+c$£. Si suppone che £$P(P(1))=P(P(2))=0$£ e che £$P(1) \neq P(2)$£. Calcolare £$P(0)$£.

Testo del quesito 5

£$5)$£ Risolvere l'integrale improprio: £$\int_0^1 {\ln \left( x \right)\;dx} $£.

Testo del quesito 6

£$6)$£ La popolazione di una colonia di batteri è di £$4000$£ batteri al tempo £$t=0$£ e di £$6500$£ al tempo £$t=3$£. Si suppone che la crescita della popolazione sia esponenziale, rappresentabile, cioè, con l'equazione differenziale £${\textstyle{{dy} \over {dt}}} = k \cdot y$£ dove £$k$£ è una costante e £$y$£ la popolazione di batteri al tempo £$t$£. Al tempo £$t=10$£, la popolazione supererà i £$20000$£ batteri?

Testo del quesito 7

£$7)$£ Un particella si muove lungo una certa curva secondo le seguenti leggi:

\[x\left( t \right) = 3 - 2 \cdot \cos \left( t \right)\;,\;\;\;\;\;y\left( t \right) = 2 + 3 \cdot {\mathop{\rm sen}\nolimits} \left( t \right)\,.\]

Disegnare la traiettoria percorsa dalla particella per £$t$£ che va da £$0$£ a £$2 \pi$£ secondi e determinare la velocità di variazione di £$\theta$£, l'angolo formato dalla tangente alla traiettoria con l'asse £$x$£, per £$t=\frac{2}{3}\pi$£ secondi.

Testo del quesito 8

£$8)$£ Se £$f\left( x \right) = \int_1^{{x^3}} {\frac{1}{{1 + \ln \left( t \right)}}\;dt}$£ per £$x\ge 1$£, qual è il valore di £$f'(2)$£?

Testo del quesito 9

£$9)$£ Risolvere il seguente problema posto nel £$1547$£ da Ludovico Ferrari a Niccolò Tartaglia:

"Si divida il numero £$8$£ in due numeri reali non negativi in modo che sia massimo il prodotto di uno per l'altro e per la loro differenza".

Testo del quesito 10

£$10)$£ Trovare l'equazione della retta perpendicolare al grafico di £$f(x)=4x^3-7x^2$£ nel punto di ascissa £$3$£.