Problema 1 - Testo

Qui trovi il testo del problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria per le scuole italiane all'estero in Europa della maturità 2015! Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Appunti

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema £$1$£ della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Testo della domanda 1

Sei il responsabile del controllo della navigazione della nave indicata in figura con il punto £$P$£. Nel sistema di riferimento cartesiano £$Oxy$£ le posizioni della nave £$P$£, misurate negli istanti £$t=0$£ e £$t=10$£ (il tempo £$t$£ è misurato in minuti, le coordinate £$x$£ e £$y$£ sono espresse in miglia nautiche), sono date dai punti £$P_1 \, (14,13)$£ e £$P_2 \, (12,11)$£. Negli stessi istanti la posizione di una seconda nave £$Q$£ è data dai punti £$Q_1 \, (12,-2)$£ e £$Q_2 \, (11,-1)$£. Entrambe le navi si muovono in linea retta e con velocità costante, come rappresentato in figura (non in scala).

L'area indicata con £$ZMP$£ è una "Zona Marittima Pericolosa". Il raggio luminoso di un faro posto nel punto £$F$£ di coordinate £$(0,1)$£ spazza un quarto di cerchio di raggio £$10$£ miglia (vedi figura).


Calcola dopo quanto tempo, rispetto all'istante in cui la nave £$P$£ avvista per la prima volta il faro £$F$£, essa raggiunge la minima distanza dal faro, e la misura di tale distanza.

Testo della domanda 2

Determina la posizione della nave £$P$£ nell'istante in cui per la prima volta la sua distanza dalla nave £$Q$£ è pari a £$9$£ miglia.

Testo della domanda 3


Determina l'istante £$t$£ nel quale la distanza tra le due navi è minima e calcola il valore di tale distanza.

Testo della domanda 4

Nel punto £$B \, (x_B,y_B)$£ si trova una boa che segnala l'inizio della £$ZMP$£. La delimitazione della £$ZMP$£ può essere descritta dai grafici delle funzioni £$f$£ e £$g$£ che si intersecano nel punto £$B$£ e sono definite da:

$$ \begin{array}{l} f\left( x \right) = - x^3 + x + 4\;, & x \in \mathbb{R}\;, & 0 \le x \le {x_B} \\ g\left( x \right) = x + 1\;, & x \in \mathbb{R}\;, & 0 \le x \le {x_B} \end{array} $$

e dalla retta £$x=0$£.

Calcola l'area della £$ZMP$£.

Leggiamolo insieme

Il problema tratta principalmente della posizione di due punti materiali che si muovono in un piano; nella descrizione del testo, detti punti rappresentano due navi che percorrono un tratto di mare. I dati consentono di scrivere le leggi orarie dei moti, mediante le quali si risolvono abbastanza agevolmente le prime tre domande, che costituiscono la parte maggiore del problema. Non c'è una consegna esplicita a scrivere le leggi orarie, e questa è forse la sola effettiva difficoltà del problema perché si richiede al candidato una scelta autonoma; dopo si debbono soltanto applicare diligentemente tecniche standard.

La quarta domanda, molto elementare e del tutto incorrelata con le precedenti, chiede il calcolo dell'area di una regione piana.

Che cosa ripassare

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione europa 2015: