Problema 2 - Testo

Qui trovi il testo del problema 2 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria per il liceo sportivo e internazionale 2015! Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Appunti

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema £$2$£ della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Testo della domanda 1

Assegnate le funzioni reali £$f(x)=\ln(x)$£ e £$g(x)=e^{x-2}$£ e indicati con £$F$£ e £$G$£ i loro grafici in un riferimento cartesiano £$Oxy$£:


Stabilisci dominio e codominio delle funzioni £$f$£ e £$g$£ e traccia quindi i grafici relativi alle funzioni £$a(x)=f(g(x))$£ e £$b(x)=g(f(x))$£;

Testo della domanda 2


Determina l'equazione della retta £$r$£ tangente a £$F$£ nel suo punto di ascissa £$e^2$£. Stabilisci inoltre se esiste una retta £$s$£, parallela a £$r$£, che sia tangente a £$G$£;

Testo della domanda 3


Determina l'equazione della retta £$t$£, parallela alla bisettrice del primo quadrante, che sia tangente a £$F$£. Dimostra che £$t$£ risulta essere tangente anche a £$G$£;

Testo della domanda 4


Detta £$A$£ la regione piana finita delimitata dell'asse £$y$£, dalla retta di equazione £$y=x-1$£ e dal grafico £$G$£, calcola l'area di £$A$£ e il volume del solido generato ruotando £$A$£ intorno all'asse £$y$£.

Leggiamolo insieme

Il problema riguarda argomenti di analisi matematica; la risoluzione non necessita calcoli laboriosi né astuzie particolari. La prima domanda chiede di tracciare il grafico di due funzioni; si tratta di funzioni note, per le quali non occorre svolgere calcoli. Segue la richiesta di tracciare i grafici di due funzioni composte; l'oggetto di questa domanda è il significato di composizione di funzioni". La seconda e terza domanda riguardano rette tangenti ai grafici tracciati prima; occorre soltanto un po' di attenzione. La quarta e ultima domanda chiede di calcolare l'area di una regione piana e il volume di un solido di rotazione; neppure qui ci sono difficoltà, se si conoscono le regole necessarie. Il calcolo delle primitive è immediato, una sola volta occorre un'integrazione per parti.

Che cosa ripassare


Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 2 della seconda prova di matematica della sessione internazionale 2015: