Quesiti - Testo

Trovi il testo dei 10 quesiti che sono stati assegnati alla seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2015.

Qual è la strategia migliore per scegliere i £$5$£ quesiti da svolgere alla seconda prova? Una vera strategia purtroppo non esiste, però puoi seguire questi consigli:

  • Leggi bene tutti i £$10$£ quesiti;
  • Accanto ad ognuno scrivi l'argomento di matematica che ti sembra utile per risolverlo;
  • Quanti di questi argomenti hai svolto e ricordi?
    • Se ci sono almeno £$5$£ quesiti in cui sai proporre una buona strategia matematica risolutiva, beh sei fortunato! Scegli quelli e inizia a svolgerli;
    • Altrimenti svolgi subito i quesiti sugli argomenti che conosci e poi concentrati sugli altri. Spesso l'argomento che hai individuato e che credi di non aver fatto a scuola è legato a qualche cosa che invece conosci: guarda le formule, analizza il testo e cerca tutti i legami possibili con gli argomenti che sai.

Scrivi sempre le tue idee e proponi strategie che ti sembrano sensate. Il tuo ragionamento, se corretto, verrà valutato positivamente, anche senza i calcoli!

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Testo del quesito 1

Determinare l'espressione analitica della funzione £$y=f(x)$£ sapendo che la retta £$y=-2x+5$£ è tangente al grafico di £$f$£ nel secondo quadrante e che £$f'(x)=-2x^2+6$£.

Testo del quesito 2

Dimostrare che il volume del tronco di cono è espresso dalla formula

\[V = \frac{1}{3}\pi \cdot h \cdot \left( {{R^2} + {r^2} + R \cdot r} \right).\]

dove £$R$£ ed £$r$£ sono i raggi e £$h$£ l'altezza

Testo del quesito 3

Lanciando una moneta sei volte qual è la probabilità che si ottenga testa "al più" due volte? Qual è la probabilità che si ottenga testa "almeno" due volte?

Testo del quesito 4

Di quale delle seguenti equazioni differenziali la funzione £$y=\frac{\ln(x)}{x}$£ è soluzione?

\[y'' + 2\frac{{y'}}{x} = y\]

\[y' + x \cdot y'' = 1\]

\[x \cdot y' = \frac{1}{x} + y\]

\[{x^2} \cdot y'' + x \cdot y' + \frac{2}{x} = y\]

Testo del quesito 5

Determinare un'espressione analitica della retta perpendicolare nell'origine al piano di equazione £$x+y-z=0$£.

Testo del quesito 6


Sia £$f$£ la funzione, definita per tutti gli £$x$£ reali, da

\[f\left( x \right) = {\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {x - 2} \right)^2} + {\left( {x - 3} \right)^2} + {\left( {x - 4} \right)^2} + {\left( {x - 5} \right)^2},\]

determinare il minimo di £$f$£.

Testo del quesito 7

Detta £$A(n)$£ l'area del poligono regolare di £$n$£ lati inscritto nel cerchio £$C$£ di raggio £$r$£, verificare che £$A(n)=\frac{n}{2}r^2 \rm{sen}\frac{2\pi}{n}$£ e calcolarne il limite per £$n\to\infty$£.

Testo del quesito 8

I lati di un triangolo misurano, rispettivamente, £$6\, cm, 6 \,cm$£, e £$5\, cm$£. Preso a caso un punto £$P$£ all'interno del triangolo, qual è la probabilità che £$P$£ disti più di £$2\, cm$£ da tutti e tre i vertici del triangolo?

Testo del quesito 9

Data la funzione

\[f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{l}{{x^3}}&{0 \le x \le 1}\\{{x^2} - kx + k}&{1 < x \le 2}\end{array}} \right.\]

determinare il parametro £$k$£ in modo che nell'intervallo £$[0,2]$£ sia applicabile il teorema di Lagrange e trovare il punto di cui la tesi del teorema assicura l'esistenza.

Testo del quesito 10

Il grafico della funzione £$f(x)=\sqrt{x}$£ (£$x\in \mathbb{R},\;x\geq0$£) divide in due porzioni il rettangolo £$ABCD$£ avente vertici £$A\,(1,0), B\,(4,0), C\,(4,2)$£ e £$D\,(1,2)$£. Calcolare il rapporto tra le aree delle due porzioni.

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