Problema 1 - Testo prova sessione ordinaria 2015

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Qui trovi il testo del problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2015!

Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Appunti

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema £$1$£ della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Testo della domanda 1

Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all’estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con £$x$£ i minuti di conversazione effettuati in un mese, con £$f(x)$£ la spesa totale nel mese e con £$g(x)$£ il costo medio al minuto:

    Individua l’espressione analitica delle funzioni £$f(x)$£ e £$g(x)$£ e rappresentale graficamente; verifica che la funzione £$g(x)$£ non ha massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell’andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano.

      Testo della domanda 2

        Detto £$x_0$£ il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina £$x_1$£ tale che

        £$g(x_1)=\frac{g(x_0)}{2}$£.

        Traccia il grafico della funzione che esprime £$x_1$£ in funzione di £$x_0$£ e discuti il suo andamento.


        Che significato ha il suo asintoto verticale? Sul suo sito web l'operatore telefonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale telefonico nella zona di tuo interesse (figura).


        La zona è delimitata dalla curva passante per i punti £$A, B$£ e £$C$£, dagli assi £$x$£ e £$y$£, e dalla retta di equazione £$x=6$£; la porzione etichettata con la £$Z$£, rappresenta un'area non coperta dal segnale telefonico dell'operatore in questione.

          Testo della domanda 3

            Rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, verificando che il suo grafico passa per i tre punti £$A$£, £$B$£ e £$C$£. Sul sito web dell'operatore compare la seguente affermazione: "nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 96% del territorio"; verifica se effettivamente è così.

            L'operatore di telefonia modifica il piano tariffario, inserendo un sovrapprezzo di £$10$£ centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi £$500$£ minuti.

              Testo della domanda 4


              Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni £$f(x)$£ e £$g(x)$£, riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione £$g(x)$£ e della sua derivata e spiegane il significato nella situazione concreta.

              Leggiamolo insieme

              Nel tema di matematica assegnato agli studenti di Liceo Scientifico nel 2015 compare per la prima volta un problema "contestualizzato" aderente alle proposte innovative manifestate durante l'anno scolastico nelle simulazioni. Il problema prende spunto infatti da una situazione concreta: la spesa mensile relativa a un piano tariffario telefonico.

              Nel corso dello svolgimento vedremo che è decisamente facile ricavare le espressioni delle funzioni richieste e che l'esecuzione delle consegne contenute nelle successive domande è a sua volta quasi priva di difficoltà se £$f(x)$£ e £$g(x)$£ si trattano come funzioni di variabile reale, ignorando in sostanza la loro natura discreta, legata al contesto specifico in cui esse nascono.

              Il problema cambia invece completamente aspetto se di ciò si vuole tenere conto. Infatti, se si vuole rimanere strettamente aderenti al problema concreto, la variabile indipendente e la variabile dipendente variano in insiemi discreti (anzi: finiti). Consideriamo per esempio £$f(x)$£, costo mensile per £$x$£ minuti di conversazione. Se il gestore addebita un intero minuto per volta, come spesso accade nella realtà, £$3'\:25''$£ (per esempio) saranno fatturati al costo di £$4'$£, e la bolletta mensile indicherà il valore £$x$£ dei minuti di conversazione come numero intero. Potrebbe accadere che il gestore addebiti il costo "al secondo"; £$x$£ apparirebbe allora come un numero intero, più £$\frac{k}{60}$£, £$k$£ numero intero compreso tra £$0$£ e £$59$£; ma la sostanza non cambierebbe. Inoltre £$x$£ non può superare il numero di minuti di un mese; nel caso di £$30$£ giorni, £$30\cdot24\cdot60=43200$£.

              Per quanto riguarda la variabile dipendente, ossia il valore di £$f(x)$£, essa rappresenta un importo in £$€$£; questo è un numero decimale con esattamente due cifre dopo la virgola, cioè un numero intero più £$\frac{k}{100}$£, £$k$£ numero intero compreso tra £$0$£ e £$99$£.

              Purtroppo, per una funzione definita in un insieme discreto non ha senso parlare di limiti e di derivata; gli strumenti tipici dello studio delle funzioni sono quindi esclusi. Lo studio della funzione è in questo caso concettualmente banale perché, essendoci un numero finito di valori, questi possono essere tabulati uno ad uno, e le informazioni richieste (crescenza, decrescenza, massimi, minimi) si possono in teoria dedurre dalla lettura di una tabella. In realtà ciò è impraticabile a causa del numero troppo grande, anche se finito, di valori: £$43201$£, come si è visto.

              È una pratica abituale quanto conveniente trattare problemi discreti di questo tipo estendendo il significato delle formule ottenute ai valori reali, in tutto £$\mathbb{R}$£ o in opportuni intervalli; questo è utile perché consente di applicare gli strumenti sopra ricordati. I risultati dovranno poi essere interpretati a posteriori, riconducendosi al problema concreto con le limitazioni che esso impone ai valori in gioco.

              Nello svolgimento che segue adottiamo tale pratica; studieremo cioè le funzioni di variabile reale descritte dalle formule che avremo trovato, e commenteremo i risultati tenendo conto delle limitazioni che il problema impone. Ragioneremo sulla tariffazione "al minuto", non "al secondo"; le interpretazioni per tariffazione al secondo sono analoghe, con qualche differenza nei risultati numerici.

              Che cosa ripassare

              Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2015: