Nel tema di matematica assegnato agli studenti di Liceo Scientifico nel 2015 compare per la prima volta un problema "contestualizzato" aderente alle proposte innovative manifestate durante l'anno scolastico nelle simulazioni. Il problema prende spunto infatti da una situazione concreta: la spesa mensile relativa a un piano tariffario telefonico.
Nel corso dello svolgimento vedremo che è decisamente facile ricavare le espressioni delle funzioni richieste e che l'esecuzione delle consegne contenute nelle successive domande è a sua volta quasi priva di difficoltà se £$f(x)$£ e £$g(x)$£ si trattano come funzioni di variabile reale, ignorando in sostanza la loro natura discreta, legata al contesto specifico in cui esse nascono.
Il problema cambia invece completamente aspetto se di ciò si vuole tenere conto. Infatti, se si vuole rimanere strettamente aderenti al problema concreto, la variabile indipendente e la variabile dipendente variano in insiemi discreti (anzi: finiti). Consideriamo per esempio £$f(x)$£, costo mensile per £$x$£ minuti di conversazione. Se il gestore addebita un intero minuto per volta, come spesso accade nella realtà, £$3'\:25''$£ (per esempio) saranno fatturati al costo di £$4'$£, e la bolletta mensile indicherà il valore £$x$£ dei minuti di conversazione come numero intero. Potrebbe accadere che il gestore addebiti il costo "al secondo"; £$x$£ apparirebbe allora come un numero intero, più £$\frac{k}{60}$£, £$k$£ numero intero compreso tra £$0$£ e £$59$£; ma la sostanza non cambierebbe. Inoltre £$x$£ non può superare il numero di minuti di un mese; nel caso di £$30$£ giorni, £$30\cdot24\cdot60=43200$£.
Per quanto riguarda la variabile dipendente, ossia il valore di £$f(x)$£, essa rappresenta un importo in £$€$£; questo è un numero decimale con esattamente due cifre dopo la virgola, cioè un numero intero più £$\frac{k}{100}$£, £$k$£ numero intero compreso tra £$0$£ e £$99$£.
Purtroppo, per una funzione definita in un insieme discreto non ha senso parlare di limiti e di derivata; gli strumenti tipici dello studio delle funzioni sono quindi esclusi. Lo studio della funzione è in questo caso concettualmente banale perché, essendoci un numero finito di valori, questi possono essere tabulati uno ad uno, e le informazioni richieste (crescenza, decrescenza, massimi, minimi) si possono in teoria dedurre dalla lettura di una tabella. In realtà ciò è impraticabile a causa del numero troppo grande, anche se finito, di valori: £$43201$£, come si è visto.
È una pratica abituale quanto conveniente trattare problemi discreti di questo tipo estendendo il significato delle formule ottenute ai valori reali, in tutto £$\mathbb{R}$£ o in opportuni intervalli; questo è utile perché consente di applicare gli strumenti sopra ricordati. I risultati dovranno poi essere interpretati a posteriori, riconducendosi al problema concreto con le limitazioni che esso impone ai valori in gioco.
Nello svolgimento che segue adottiamo tale pratica; studieremo cioè le funzioni di variabile reale descritte dalle formule che avremo trovato, e commenteremo i risultati tenendo conto delle limitazioni che il problema impone. Ragioneremo sulla tariffazione "al minuto", non "al secondo"; le interpretazioni per tariffazione al secondo sono analoghe, con qualche differenza nei risultati numerici.
