Quesiti - Testo

Ecco il testo dei 10 quesiti che sono stati assegnati alla seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2016 per il Liceo Sportivo. Scegli i 5 quesiti più adatti per te e scopri come risolverli!

Qual è la strategia migliore per scegliere i 5 quesiti da svolgere alla seconda prova? Una vera strategia purtroppo non esiste, però puoi seguire questi consigli:

  • Leggi bene tutti i 10 quesiti;
  • Accanto ad ognuno scrivi l'argomento di matematica che ti sembra utile per risolverlo;
  • Quanti di questi argomenti hai svolto e ricordi?
    • Se ci sono almeno 5 quesiti in cui sai proporre una buona strategia matematica risolutiva, beh sei fortunato! Scegli quelli e inizia a svolgerli;
    • Altrimenti svolgi subito i quesiti sugli argomenti che conosci e poi concentrati sugli altri. Spesso l'argomento che hai individuato e che credi di non aver fatto a scuola è legato a qualche cosa che invece conosci: guarda le formule, analizza il testo e cerca tutti i legami possibili con gli argomenti che sai.

Scrivi sempre le tue idee e proponi strategie che ti sembrano sensate. Il tuo ragionamento, se corretto, verrà valutato positivamente, anche senza i calcoli!

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Testo del quesito 1

È noto che $$ \int_{-\infty}^{+\infty}e^{-x^2}dx=\sqrt{\pi} $$ Stabilire se il numero reale £$u$£, tale che £$\int_{-\infty}^{u}e^{-x^2}dx=1$£, è positivo oppure negativo. Determinare inoltre i valori dei seguenti integrali, motivando le risposte: $$ A=\int_{-u}^{u}x^7e^{-x^2}dx\qquad B=\int_{-u}^{u}e^{-x^2}dx\qquad C=\int_{-\infty}^{+\infty}e^{-5x^2}dx $$

Testo del quesito 2

Data una parabola di equazione $$ y=1-a\,x^2,\qquad\text{con}\;\,a>0 $$ si vogliono inscrivere dei rettangoli, con un lato sull'asse £$x$£, nel segmento parabolico delimitato dall'asse £$x$£. Determinare £$a$£ in modo che il rettangolo di area massima sia anche il rettangolo di perimetro massimo.

Testo del quesito 3

Un recipiente sferico con raggio interno £$r$£ è riempito con un liquido fino all'altezza £$h$£. Utilizzando il calcolo integrale, dimostrare che il volume del liquido è dato da £$V=\pi\cdot\bigl(r\,h^2-\dfrac{h^3}{3}\bigr)$£.

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Testo del quesito 4

Un test è costituito da £$10$£ domande a risposta multipla, con £$4$£ possibili risposte di cui solo una è esatta. Per superare il test occorre rispondere esattamente almeno a £$8$£ domande. Qual è la probabilità di superare il test rispondendo a caso alle domande?

Testo del quesito 5

Una sfera, il cui centro è il punto £$K\,(-2,-1,2)$£, è tangente al piano £$\Pi$£ avente equazione £$2x-2y+z-9=0$£. Qual è il punto di tangenza? Qual è il raggio della sfera?

Testo del quesito 6

Si stabilisca se la seguente affermazione è vera o falsa, giustificando la risposta:

"Esiste un polinomio £$P(x)$£ tale che: £$|P(x)-\cos(x)|\leq10^{-3}$£, £$\forall x\in\mathbb{R}$£".

Testo del quesito 7

Una pedina è collocata nella casella in basso a sinistra di una scacchiera, come in figura. Ad ogni mossa, la pedina può essere spostata o nella casella alla sua destra o nella casella sopra di essa. Scelto casualmente un percorso di £$14$£ mosse che porti la pedina nella casella d'angolo opposta £$A$£, qual è la probabilità che essa passi per la casella indicata con £$B$£?

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Testo del quesito 8

Date le rette: $$ \left\{ \begin{array}{l} x = t\\ y = 2t\\ z = t \end{array} \right.\qquad \left\{ \begin{array}{l} x+y+z-3=0\\ 2x-y=0 \end{array} \right. $$ e il punto £$P\,(1,0,-2)$£, determinare l'equazione del piano passante per £$P$£ e parallelo alle due rette.

Testo del quesito 9

Data la funzione £$f(x)$£ definita in £$\mathbb{R}$£, £$f(x)=e^x(2x+x^2)$£, individuare la primitiva di £$f(x)$£ il cui grafico passa per il punto £$(1,2e)$£.

Testo del quesito 10

Sia £$f$£ la funzione così definita nell'intervallo £$]1,+\infty[$£: $$ f(x)=\int_e^{x^2}\dfrac{t}{\ln t}dt $$ Scrivere l'equazione della retta tangente al grafico di £$f$£ nel suo punto di ascissa £$\sqrt{e}$£.

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