Problema 1 - Testo

Qui trovi il testo del problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2016 per il Liceo Sportivo! Analizza il testo e scopri gli argomenti da ripassare per affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Testo della domanda 1

La funzione £$ f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$£ così definita

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \frac{\text{sen } x}{x}\;\;{\rm{per}}\;\;x \ne 0\\ \;\;\,1\;\;\;\;\,{\rm{per}}\;\;x = 0 \end{array} \right. $$

Prova che £$f$£ è una funzione pari e che essa è derivabile in £$x=0$£. Dimostra inoltre che la funzione £$f$£ ha un massimo assoluto in £$x=0$£.

Testo della domanda 2

    Traccia, in uno stesso diagramma, i grafici indicativi delle tre funzioni

    $$ y=f(x)\;\;\;\;\;\;\;\;y=\frac{1}{x}\;\;\;\;\;\;\;\;y=-\frac{1}{x} $$

    e mostra che il grafico di £$f$£ è tangente agli altri due in infiniti punti.


    È vero che tali punti di tangenza sono anche massimi o minimi relativi della funzione £$f$£?

      Testo della domanda 3

        Detta £$R_0$£ la regione piana di area finita delimitata dal grafico di £$f$£, dall'asse £$x$£ e dall'asse £$y$£, si indica con £$V_0$£ il solido generato ruotando £$R_0$£ intorno all'asse £$y$£. Si indica inoltre con £$R_n$£ la regione piana delimitata dal grafico di £$f$£ e dal tratto dell'asse £$x$£ compreso tra £$n\,\pi$£ e £$(n+1)\,\pi$£, qualsiasi sia £$n\in\mathbb{N}$£, e con £$V_n$£ il volume del rispettivo solido di rotazione. Dimostra che risulta:

        $$ V_0=V_n=4\,\pi $$

          Testo della domanda 4

            Sia definita la funzione

            $$ F(x)=\int_0^x f(t)\,dt\,. $$

            Tenuto conto del fatto che

            $$ \lim \limits_{x \to + \infty } F(x) = \frac{\pi }{2} $$

            traccia un grafico indicativo dell'andamento della funzione £$F$£, individuandone, in particolare, le ascisse dei punti di massimo e di minimo£$^1$£.


              £$^1$£ Nota: la primitiva della funzione £$f$£ non è esprimibile tramite le usuali funzioni analitiche.

              Leggiamolo insieme

              Il problema riguarda argomenti di analisi matematica: grafici di funzioni, estremanti, calcolo di volumi per mezzo di integrali. Alcuni punti presentano qualche difficoltà; ciò vale in particolare per lo studio di due grafici, di una funzione e di una sua primitiva, perché non è possibile ricavare tutte le informazioni, per esempio sugli estremanti, che abitualmente guidano nello studio di una funzione. Il problema è adeguato per uno studente ben preparato, ma non è banale.

              Che cosa ripassare

              Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2016 per il Liceo Scientifico - Comunicazione - Opzione Sportiva:

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