Problema 2 - Testo

Qui trovi il testo del problema 2 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2016 per il Liceo Sportivo! Analizza bene il testo e scopri gli argomenti consigliati da ripassare per poter di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 2 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Testo della domanda 1

Nella figura 3 è rappresentato il grafico £$\Gamma$£ della funzione continua £$f:[0,+\infty[\longrightarrow\mathbb{R}$£, derivabile in £$]0,+\infty[$£, e sono indicate le coordinate di alcuni suoi punti.

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È noto che £$\Gamma$£ è tangente all'asse £$y$£ in £$A$£, che £$B$£ ed £$E$£ sono un punto di massimo e uno di minimo, che £$C$£ è un punto di flesso con tangente di equazione £$2x+y-8=0$£.

Nel punto £$D$£ la retta tangente ha equazione £$x+2y-5=0$£ e per £$x\geq8$£ il grafico consiste in una semiretta passante per il punto £$G$£. Si sa inoltre che l'area della regione delimitata dall'arco £$ABCD$£, dall'asse £$x$£ e dall'asse £$y$£ vale £$11$£, mentre l'area della regione delimitata dall'arco £$DEF$£ e dall'asse £$x$£ vale £$1$£.

1. In base alle informazioni disponibili, rappresenta indicativamente i grafici delle funzioni $$ y=f'(x) $$ $$ F(x)=\int_0^xf(t)\,dt $$ Quali sono i valori di £$f'(3)$£ e £$f'(5)$£? Motiva la tua risposta.

Testo della domanda 2

2. Rappresenta, indicativamente, i grafici delle seguenti funzioni: $$ y=\left|f'(x)\right| $$ $$ y=\left|f(x)\right|' $$ $$ y=\dfrac{1}{f(x)} $$ specificando l'insieme di definizione di ciascuna di esse.

Testo della domanda 3

3. Determina i valori medi di £$y=f(x)$£ e di £$y=\left|f(x)\right|$£ nell'intervallo £$[0,8]$£, il valore medio di £$y=f'(x)$£ nell'intervallo £$[1,7]$£ e il valore medio di £$y=F(x)$£ nell'intervallo £$[9,10]$£.

Testo della domanda 4

4. Scrivi le equazioni delle rette tangenti al grafico della funzione £$F(x)$£ nei suoi punti di ascisse £$0$£ e £$8$£, motivando le risposte.

Leggiamolo insieme

L'intero problema riguarda una funzione £$f$£ della quale viene assegnato il grafico, e in più alcuni valori della funzione e della sua derivata e le aree di certe regioni piane delimitate dal grafico di £$f$£. Le prime due domande, le più impegnative, chiedono di tracciare i grafici qualitativi di alcune funzioni dedotte da £$f$£ in vario modo tramite derivazione, integrazione, valore assoluto. Gli strumenti da applicare non sono particolarmente sofisticati, ma occorre una notevole padronanza per farne uso in modo opportuno. Le ultime due domande sono più elementari, potendosi risolvere con la mera applicazione di formule apposite, ma richiedono comunque la comprensione di alcune delle relazioni già applicate per le prime due. Il problema appare complessivamente tutt'altro che banale, non a causa di calcoli complicati, praticamente assenti, quanto per la profondità dei ragionamenti necessari per la risoluzione.

Va pure osservato che il testo contiene un errore, abbastanza nascosto da potere sfuggire, tale però da suscitare perplessità in chi dovesse notarlo:

"L'area delimitata dall'arco £$DEF$£ e dall'asse £$x$£ vale £$1$£".

Ebbene, la parte di piano in oggetto contiene il triangolo di vertici £$D$£, £$E$£, £$F$£, la cui area si vede facilmente che vale £$\dfrac{9}{8}>1$£; quindi non può essere uguale a £$1$£ l'area di cui parla il testo.

Se questa incongruenza viene ignorata, o non la si nota, la risoluzione sembra procedere senza intoppi, quindi l'errore non crea vere difficoltà al candidato; tuttavia sarebbe stata auspicabile maggiore attenzione nella stesura della traccia.

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