Problema 1 - Testo

Qui trovi il testo del problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2016! Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Testo della domanda 1

L'amministratore di un piccolo condominio deve installare un nuovo serbatoio per il gasolio da riscaldamento. Non essendo soddisfatto dei modelli esistenti in commercio, ti incarica di progettarne uno che risponda alle esigenze del condominio.

Figura 1
Figura 2

Allo scopo di darti le necessarie informazioni, l'amministratore ti fornisce il disegno in figura 1, aggiungendo le seguenti indicazioni:

  • la lunghezza £$L$£ del serbatoio deve essere pari a otto metri;
  • la larghezza £$\ell$£ del serbatoio deve essere pari a due metri;
  • l'altezza £$h$£ del serbatoio deve essere pari a £$1$£ metro;
  • il profilo laterale (figura 2) deve avere un punto angoloso alla sommità, per evitare l'accumulo di ghiaccio durante i mesi invernali, con un angolo £$\vartheta\geq10^\circ$£;
  • la capacità del serbatoio deve essere pari ad almeno £$13 \text{ m}^3$£, in modo da garantire al condominio il riscaldamento per tutto l'inverno effettuando solo due rifornimenti di gasolio;
  • al centro della parete laterale del serbatoio, lungo l'asse di simmetria (segmento £$AB$£ in figura 2) deve essere installato un indicatore graduato che riporti la percentuale di riempimento £$V$£ del volume del serbatoio in corrispondenza del livello £$z$£ raggiunto in altezza dal gasolio.
Considerando come origine degli assi il punto £$A$£ in figura 2, individua tra le seguenti famiglie di funzioni quella che meglio può descrivere il profilo laterale del serbatoio per £$x\in[-1,1]$£, £$k$£ intero positivo, motivando opportunamente la tua scelta: $$ f(x)=(1-|x|)^{\frac{1}{k}} $$ $$ f(x)=-6\,|x|^3+9\,k\,x^2-4\,|x|+1 $$ $$ f(x)=\cos\Bigl(\frac{\pi}{2}x^k\Bigr) $$

Testo della domanda 2

Determina il valore di £$k$£ che consente di soddisfare i requisiti richiesti relativamente all'angolo £$\vartheta$£ e al volume del serbatoio./div>

Testo della domanda 3

Al fine di realizzare l'indicatore graduato, determina l'espressione della funzione £$V(z)$£ che associa al livello £$z$£ del gasolio (in metri) la percentuale di riempimento £$V$£ del volume da riportare sull'indicatore stesso.

Testo della domanda 4

Quando consegni il tuo progetto l'amministratore obietta che essendo il serbatoio alto un metro, il valore £$z$£ del livello del gasolio, espresso in centimetri, deve corrispondere alla percentuale di riempimento: cioè, ad esempio, se il gasolio raggiunge un livello £$z$£ pari a £$50\text{ cm}$£ vuol dire che il serbatoio è pieno al £$50\%$£; invece il tuo indicatore riporta, in corrispondenza del livello £$50\text{ cm}$£, una percentuale di riempimento £$59{,}7\%$£.

Illustra gli argomenti che puoi usare per spiegare all'amministratore che il suo ragionamento è sbagliato; mostra anche qual è, in termini assoluti, il massimo errore che si commette usando il livello $z$ come indicatore della percentuale di riempimento, come da lui suggerito, e qual è il valore di £$z$£ in corrispondenza del quale esso si verifica.

Leggiamolo insieme

Il problema, del tipo "contestualizzato", tratta di un solido che dovrebbe rappresentare un serbatoio per il gasolio; in pratica, le domande riguardano il profilo frontale (quantunque il testo lo chiami "laterale") del solido. Le domande più insidiose sono le prime due, riguardanti la scelta dell'espressione adatta per descrivere tale profilo; non sono questioni tecnicamente difficili, ma piuttosto inusuali per la maggioranza degli studenti, che potrebbero trovarsi disorientati. Il testo della domanda £$2$£ suggerisce opportunamente quali elementi occorre considerare per condurre a termine la determinazione della funzione, offrendo in tale modo un piccolo aiuto ai candidati.

La terza domanda conduce in pratica al calcolo dell'area di una regione piana mediante un integrale; il calcolo dell'integrale è immediato, la difficoltà consiste nell'interpretare la domanda e impostare l'integrale detto sopra. La quarta domanda riprende i risultati della terza e propone un tradizionale problema di massimo, da risolvere con l'ausilio della derivata.

Il problema è nel complesso piuttosto difficile, non per i calcoli che sono anzi molto semplici, quanto per la natura tutt'altro che banale delle questioni proposte, che richiedono una sensibilità e una padronanza degli strumenti non comune tra gli studenti liceali. Inoltre, le domande più standard sono la terza e la quarta, che non si possono affrontare senza avere risolto le prime due. Sarebbe stato bene che il testo contenesse, come altre volte è stato fatto, una nota dopo le prime due domande, del tipo "Si verifichi che la funzione adatta è £$f(x)=\ldots$£", in modo da offrire un controllo per chi risolve le prime due domande, e un'opportunità di affrontare le ultime due per chi non è riuscito a risolvere le prime.

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