Quesiti - Testo

Trovi il testo dei 10 quesiti che sono stati assegnati alla seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2017.

Qual è la strategia migliore per scegliere i 5 quesiti da svolgere alla seconda prova? Una vera strategia purtroppo non esiste, però puoi seguire questi consigli:

  • Leggi bene tutti i 10 quesiti;
  • Accanto ad ognuno scrivi l'argomento di matematica che ti sembra utile per risolverlo;
  • Quanti di questi argomenti hai svolto e ricordi?
    • Se ci sono almeno 5 quesiti in cui sai proporre una buona strategia matematica risolutiva, beh sei fortunato! Scegli quelli e inizia a svolgerli;
    • Altrimenti svolgi subito i quesiti sugli argomenti che conosci e poi concentrati sugli altri. Spesso l'argomento che hai individuato e che credi di non aver fatto a scuola è legato a qualche cosa che invece conosci: guarda le formule, analizza il testo e cerca tutti i legami possibili con gli argomenti che sai.

Scrivi sempre le tue idee e proponi strategie che ti sembrano sensate. Il tuo ragionamento, se corretto, verrà valutato positivamente, anche senza i calcoli!

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Testo del quesito 1

Definito il numero £$E$£ come

$$E=\int_0^1x\,e^x\,dx\,,$$

dimostrare che risulta

$$\int_0^1x^2\,e^x\,dx=e-2E$$

ed esprimere

$$\int_0^1 x^3\,e^x\,dx$$

in termini di £$e$£ ed £$E$£.

Testo del quesito 2

Una torta di forma cilindrica è collocata sotto una cupola di plastica di forma semisferica. Dimostrare che la torta occupa meno dei £$\frac{3}{5}$£ del volume della semisfera.

Testo del quesito 3

Sapendo che

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\sqrt {a\,x + 2\,b} - 6}}{x} = 1$$

determinare i valori di £$a$£ e £$b$£.

Testo del quesito 4

Per sorteggiare numeri reali nell’intervallo £$[0,2]$£ viene realizzato un generatore di numeri casuali che fornisce numeri distribuiti in tale intervallo, con densità di probabilità data dalla funzione

$$f(x)=\frac{3}{2}x^2-\frac{3}{4}x^3$$

Quale sarà il valore medio dei numeri generati?

Qual è la probabilità che il primo numero estratto sia £$\frac{4}{3}$£?

Qual è la probabilità che il secondo numero estratto sia minore di 1?

Testo del quesito 5

Dati i punti £$A\,(-2,3,1)$£, £$B\,(3,0,-1)$£, £$C\,(2,2,-3)$£, determinare l’equazione della retta £$r$£ passante per £$A$£ e per £$B$£ e l’equazione del piano £$\pi$£ perpendicolare a £$r$£ e passante per £$C$£.

Testo del quesito 6

Determinare il numero reale £$a$£ in modo che il valore di

$$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\text{sen }x - x}}{{{x^a}}}$$

sia un numero reale non nullo.

Testo del quesito 7

Determinare le coordinate dei centri delle sfere di raggio £$\sqrt{6}$£ tangenti al piano £$\pi$£ di equazione £$x+2y-z+1=0$£ nel suo punto £$P$£ di coordinate £$(1,0,2)$£.

Testo del quesito 8

Un dado ha la forma di un dodecaedro regolare con le facce numerate da 1 a 12. Il dado è truccato in modo che la faccia contrassegnata dal numero 3 si presenti con una probabilità £$p$£ doppia rispetto a ciascun’altra faccia. Determinare il valore di £$p$£ in percentuale e calcolare la probabilità che in 5 lanci del dado la faccia numero 3 esca almeno 2 volte.

Testo del quesito 9

Dimostrare che l’equazione

$$\operatorname{arctg}x+x^3+e^x=0$$

ha una e una sola soluzione reale.

Testo del quesito 10

Data la funzione

$$f(x)=\left| {4 - {x^2}} \right|$$

verificare che essa non soddisfa tutte le ipotesi del teorema di Rolle nell’intervallo £$[-3,3]$£ e che comunque esiste almeno un punto dell’intervallo £$[-3,3]$£ in cui la derivata prima di £$f(x)$£ si annulla. Questo esempio contraddice il teorema di Rolle? Motivare la risposta in maniera esauriente.

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