Problema 1 - Testo

Qui trovi il testo del problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2017! Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Si può pedalare su un bici a ruote quadrate?

Si può pedalare agevolmente su una bicicletta a ruote quadrate? A New York, al MoMath-Museum of Mathematics si può fare, in uno dei padiglioni dedicati al divertimento matematico (figura 1). È però necessario che il profilo della pedana su cui il lato della ruota può scorrere soddisfi alcuni requisiti.

In figura 2 è riportata una rappresentazione della situazione nel piano cartesiano £$Oxy$£; il quadrato di lato £$DE=2$£ (in opportune unità di misura) e di centro £$C$£ rappresenta la ruota della bicicletta, il grafico della funzione £$f(x)$£ rappresenta il profilo della pedana.

Testo della domanda 1

Sulla base delle informazioni ricavabili dal grafico in figura 2 (a sinistra), mostra, con le opportune argomentazioni, che la funzione:

$$ f(x)=\sqrt{2}-\frac{e^x+e^{-x}}{2}\;\;\;\;\;\;\;\;x\in \mathbb{R} $$

rappresenta adeguatamente il profilo della pedana per £$x\in [-a,a]$£; determina inoltre il valore degli estremi £$a$£ e £$-a$£ dell'intervallo.

Per visualizzare il profilo completo della pedana sulla quale la bicicletta potrà muoversi, si affiancano varie copie del grafico della funzione £$f(x)$£ relativo all'intervallo £$[-a,a]$£, come mostrato in figura 3 (a destra).

Testo della domanda 2

Perché la bicicletta possa procedere agevolmente sulla pedana è necessario che:

  • a sinistra e a destra dei punti di non derivabilità i tratti del grafico siano ortogonali;
  • la lunghezza del lato della ruota quadrata risulti pari alla lunghezza di una "gobba", cioè dell'arco di curva di equazione £$y=f(x)$£ per £$x\in[-a,a]$£.

Stabilisci se tali condizioni sono verificate.

 

In generale, la lunghezza dell'arco di curva avente equazione £$y=\varphi(x)$£ compreso tra le ascisse £$x_1$£ e £$x_2$£ è data da £$\int_{x_1}^{x_2}\sqrt{1+(\varphi'(x))^2}\,dx$£.

Testo della domanda 3

Considerando la similitudine dei triangoli £$ACL$£ e £$ALM$£ in figura 4, e ricordando il significato geometrico della derivata, verifica che il valore dell'ordinata £$d$£ del centro della ruota si mantiene costante durante il moto. Pertanto al ciclista sembra di muoversi su una superficie piana.

Testo della domanda 4

Anche il grafico della funzione

$$
f(x)=\frac{2}{\sqrt3}-\frac{e^x+e^{-x}}{2},\;\;\;\;\;\;\;\mathrm{per}\;x\in \Bigl[-\frac{\ln3}{2},\frac{\ln3}{2}\Bigr]
$$

se replicato varie volte, può rappresentare il profilo di una pedana adatta a essere percorsa da una bicicletta con ruote molto particolari, aventi la forma di un poligono regolare.

Individua tale poligono regolare, motivando la risposta.

Leggiamolo insieme

Il problema 1, "contestualizzato", secondo la tradizione introdotta da qualche anno, consiste in alcune applicazioni di strumenti dell'Analisi matematica a una questione geometrica tutt'altro che banale. Al contrario, si tratta senza dubbio di un problema piuttosto difficile, anche per candidati ben preparati. Una ulteriore difficoltà a carico di chi si cimenta nella risoluzione è la formulazione approssimativa delle domande e la scarsa chiarezza delle consegne. Questo grave difetto emerge soprattutto nella domanda 3, la più impegnativa, nella quale, fra l'altro, una premessa importante della dimostrazione sembra essere assunta per nota, affrancando il candidato da una parte rilevante del compito; ma anche questo "regalo", assai discutibile in sé, viene elargito in modo assai poco esplicito.

Una volta chiarito il testo del problema, esso si rivela in effetti interessante e suggestivo.

Che cosa ripassare

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2017:

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