Problema 2 - Testo

Qui trovi il testo del problema 2 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2017! Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 2 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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La funzione £$ f $£

Consideriamo la funzione £$f:\mathbb{R}\longrightarrow\mathbb{R}$£, periodica di periodo £$T=4$£ il cui grafico, nell’intervallo £$[0,4]$£, è il seguente:

Come si evince dalla figura 5, i tratti £$OB$£, £$BD$£, £$DE$£ del grafico sono segmenti i cui estremi hanno coordinate: £$O\,(0;0)$£, £$B\,(1;1)$£, £$D\,(3;-1)$£, £$E\,(4;0)$£.

Testo della domanda 1

Stabilisci in quali punti del suo insieme di definizione la funzione £$f$£ è continua e in quali è derivabile e verifica l’esistenza dei limiti £$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } f(x)$£ e £$\mathop {\lim }\limits_{x \to +\infty } \frac{f(x)}{x}$£; qualora esistano, determinane il valore.

Rappresenta inoltre, per £$x\in[0,4]$£, i grafici delle funzioni $$g(x)=f'(x)\,,\;\;\;\;\;h(x)=\int_0^xf(t)\,dt$$

Testo della domanda 2

Considera la funzione

$$s(x)=\operatorname{sen}(b\,x)$$

con £$b$£ costante reale positiva; determina £$b$£ in modo che £$s(x)$£ abbia lo stesso periodo di £$f(x)$£.

Dimostra che la porzione quadrata di piano £$OABC$£ in figura 5 viene suddivisa dai grafici di £$f(x)$£ e £$s(x)$£ in 3 parti distinte e determina la probabilità che un punto preso a caso all’interno del quadrato £$OABC$£ ricada in ciascuna delle 3 parti individuate.

Testo della domanda 3

Considerando ora le funzioni:

$$f(x)^2\;\;\;\;\mathrm{e}\;\;\;\;s(x)^2$$

discuti, anche con argomentazioni qualitative, le variazioni (in aumento o diminuzione) dei 3 valori di probabilità determinati al punto precedente.

Testo della domanda 4

Determina infine il volume del solido generato dalla rotazione attorno all’asse £$y$£ della porzione di piano compresa tra il grafico della funzione £$h$£ per £$x\in[0,3]$£ e l’asse delle £$x$£.

Leggiamolo insieme

Il problema 2, non “contestualizzato” è un problema più classico di analisi matematica, abbastanza vicino nelle modalità a problemi assegnati in recenti sessioni dell’Esame di Stato. Si deve studiare una funzione assegnata attraverso il suo grafico, e successivamente la sua derivata e una sua funzione integrale. Molto interessante la richiesta relativa all’esistenza di due limiti, uno dei quali non esiste; per dimostrare questo fatto in modo rigoroso non occorrono calcoli complicati, serve invece una padronanza solida del concetto tutt’altro che ovvio di limite. Nelle domande 2 e 3 il calcolo delle probabilità serve soltanto come motivazione per il calcolo di alcune aree, realizzabile mediante semplici integrali. Infine la quarta domanda chiede il calcolo del volume di un solido di rotazione, anche questo calcolabile agevolmente attraverso un’integrale, applicando un’opportuna regola. Il problema 2 appare più adeguato del primo alle capacità di un bravo studente, pur non essendo banale; la formulazione delle domande è senz’altro più chiara e precisa.

Che cosa ripassare

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 2 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2017:

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