Testo dei 10 quesiti della prova sessione ordinaria 2018

Trovi il testo dei 10 quesiti che sono stati assegnati alla seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2018.

Appunti

Qual è la strategia migliore per scegliere i 5 quesiti da svolgere alla seconda prova? Una vera strategia purtroppo non esiste, però puoi seguire questi consigli:

  • Leggi bene tutti i 10 quesiti;
  • Accanto ad ognuno scrivi l'argomento di matematica che ti sembra utile per risolverlo;
  • Quanti di questi argomenti hai svolto e ricordi?
    • Se ci sono almeno 5 quesiti in cui sai proporre una buona strategia matematica risolutiva, beh sei fortunato! Scegli quelli e inizia a svolgerli;
    • Altrimenti svolgi subito i quesiti sugli argomenti che conosci e poi concentrati sugli altri. Spesso l'argomento che hai individuato e che credi di non aver fatto a scuola è legato a qualche cosa che invece conosci: guarda le formule, analizza il testo e cerca tutti i legami possibili con gli argomenti che sai.

Scrivi sempre le tue idee e proponi strategie che ti sembrano sensate. Il tuo ragionamento, se corretto, verrà valutato positivamente, anche senza i calcoli!

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Testo del quesito 1

Dimostrare che il volume di un cilindro inscritto in un cono è minore della metà del volume del cono.

Testo del quesito 2

Si dispone di due dadi uguali non bilanciati a forma di tetraedro regolare con le facce numerate da 1 a 4. Lanciando ciascuno dei due dadi, la probabilità che esca 1 è il doppio della probabilità che esca 2, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca 3, che a sua volta è il doppio della probabilità che esca 4. Se si lanciano i due dadi contemporaneamente, qual è la probabilità che escano due numeri uguali tra loro?

Testo del quesito 3

Determinare i valori di £$k$£ tali che la retta di equazione £$y=-4x+k$£ sia tangente alla curva di equazione £$y=x^3-4x^2+5$£.

Testo del quesito 4

Considerata la funzione £$f(x)=\dfrac{3x-e^{\text{sen } x}}{5+e^{-x}-\cos x}$£, determinare, se esistono, i valori di £$\mathop {\lim }\limits_{x \to  + \infty } f(x)$£, £$\mathop {\lim }\limits_{x \to  - \infty } f(x)$£, giustificando adeguatamente le risposte fornite.

Testo del quesito 5

Con una staccionata lunga 2 metri si vuole recintare una superficie avente la forma di un rettangolo sormontato da una semicirconferenza, come in figura:

Determinare le dimensioni dei lati del rettangolo che consentono di recintare la superficie di area massima.

Testo del quesito 6

Determinare l'equazione della superficie sferica £$S$£, con centro sulla retta

\[
\left\{ \begin{array}{l}
x = t\\
y = t\\
z = t
\end{array} \right.\;\;,\;\;\;\;\;t \in \mathbb R
\]

tangente al piano £$\pi: 3x-y-2z+14=0$£ nel punto £$T\,(-4,0,1)$£.

Testo del quesito 7

Determinare £$a$£ in modo che

$$ \int_a^{a+1}(3x^2+3)\,dx $$

sia uguale a £$10$£.

Testo del quesito 8

In un gioco a due giocatori, ogni partita vinta frutta 1 punto e vince chi per primo raggiunge 10 punti. Due giocatori che in ciascuna partita hanno la stessa probabilità di vincere si sfidano. Qual è la probabilità che uno dei due giocatori vinca in un numero di partite minore o uguale a 12?

Testo del quesito 9

Sono dati, nello spazio tridimensionale, i punti £$A\,(3,1,0)$£, £$B\,(3,-1,2)$£, £$C\,(1,1,2)$£. Dopo aver verificato che £$ABC$£ è un triangolo equilatero e che è contenuto nel piano £$\alpha$£ di equazione £$x+y+z-4=0$£, stabilire quali sono i punti £$P$£ tali che £$ABCP$£ sia un tetraedro regolare.

Testo del quesito 10

Determinare quali sono i valori del parametro £$k\in \mathbb R$£ per cui la funzione £$y(x)=2\,e^{k\,x+2}$£ è soluzione dell'equazione differenziale £$y''-2y'-3y=0$£.