Problema 1 - Testo prova sessione ordinaria 2018

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Qui trovi il testo del problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2018!

Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Appunti

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Le mattonelle per pavimenti

Devi programmare il funzionamento di una macchina che viene adoperata nella produzione industriale di mattonelle per pavimenti. Le mattonelle sono di forma quadrata di lato £$1$£ (in una opportuna unità di misura) e le fasi di lavoro sono le seguenti:

  • si sceglie una funzione £$y=f(x)$£ definita e continua nell'intervallo £$[0,1]$£, che soddisfi le condizioni:
    1. £$ f(0) =1$£
    2. £$ f(1) = 0 $£
    3. £$0<f(x)<1$£ per £$0<x<1$£
  • La macchina traccia il grafico £$\Gamma$£ della funzione £$y=f(x)$£ e i grafici simmetrici di £$\Gamma$£ rispetto all'asse £$y$£, all'asse £$x$£ e all'origine £$O$£, ottenendo in questo modo una curva chiusa £$\Lambda$£, passante per i punti £$(1,0)$£, £$(0,1)$£, £$(-1,0)$£, £$(0,-1)$£, simmetrica rispetto agli assi cartesiani e all'origine, contenuta nel quadrato £$Q$£ di vertici £$(1,1)$£, £$(-1,1)$£, £$(-1,-1)$£, £$(1,-1)$£.
  • La macchina costruisce la mattonella colorando di grigio l'interno della curva chiusa £$\Lambda$£ e lasciando bianca la parte restante del quadrato £$Q$£; vengono quindi mostrate sul display alcune mattonelle affiancate, per dare un'idea dell'aspetto del pavimento.

Il manuale d'uso riporta un esempio del processo realizzativo di una mattonella semplice:

Figura 1

La pavimentazione risultante è riportata di seguito:

Figura 2

Testo della domanda 1

Con riferimento all'esempio, determina l'espressione della funzione £$y=f(x)$£ e l'equazione della curva £$\Lambda$£, così da poter effettuare una prova e verificare il funzionamento della macchina.

Ti viene richiesto di costruire una mattonella con un disegno più elaborato che, oltre a rispettare le condizioni a), b) e c) descritte in precedenza, abbia £$f'(0)=0$£ e l'area della parte colorata pari al £$55\%$£ dell'area dell'intera mattonella. A tale scopo, prendi in considerazione funzioni polinomiali di secondo grado e di terzo grado.

Testo della domanda 2

Dopo aver verificato che non è possibile realizzare quanto richiesto adoperando una funzione polinomiale di secondo grado, determina i coefficienti £$a$£, £$b$£, £$c$£, £$d$£ £$\in \mathbb R$£ della funzione £$f(x)$£ polinomiale di terzo grado che soddisfa le condizioni poste. Rappresenta infine in un piano cartesiano la mattonella risultante.

Vengono proposti a un cliente due tipi diversi di disegno, derivanti rispettivamente dalle funzioni £$a_n(x)=1-x^n$£ e £$b_n(x)=(1-x)^n$£, considerate per £$x\in [0,1]$£ con £$n$£ intero positivo.

Testo della domanda 3

Verifica che al variare di £$n$£ tutte queste funzioni rispettano le condizioni a), b) e c).

Dette £$A(n)$£ e £$B(n)$£ le aree delle parti colorate delle mattonelle ottenute a partire da tali funzioni £$a_n$£ e £$b_n$£, calcola £$\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } A(n)$£ e £$\mathop {\lim }\limits_{n \to +\infty } B(n)$£ ed interpreta i risultati in termini geometrici.

Il cliente decide di ordinare £$5.000$£ mattonelle con il disegno derivato da £$a_2(x)$£ e £$5.000$£ con quello derivato da £$b_2(x)$£. La verniciatura viene effettuata da un braccio meccanico che, dopo aver depositato il colore, torna alla posizione iniziale sorvolando la mattonella lungo la diagonale. A causa di un malfunzionamento, durante la produzione delle £$10.000$£ mattonelle si verifica con una probabilità del £$20\%$£ che il braccio meccanico lasci cadere una goccia di colore in un punto a caso lungo la diagonale, macchiando così la mattonella appena prodotta.

Testo della domanda 4

Fornisci una stima motivata del numero di mattonelle che, avendo una macchia nella parte non colorata, risulteranno danneggiate al termine del ciclo di produzione.

Leggiamolo insieme

Il primo problema, come ormai è consuetudine, è di tipo "contestualizzato"; le questioni matematiche emergono dalla descrizione di un problema concreto, qui relativo a una macchina che produce mattonelle decorate. Una parte non trascurabile del lavoro per il candidato consiste nel decodificare il testo, traendone le consegne effettive per la risoluzione; non è un lavoro istantaneo, anche a causa della notevole lunghezza della traccia. Comunque, la prima delle quattro domande chiede in sostanza di scrivere l'equazione di una certa retta e delle sue trasformate attraverso determinate simmetrie; successivamente, ed è la parte più difficile della prima domanda, si chiede di rappresentare analiticamente "tutta in una volta" una curva formata da quattro distinti segmenti. La seconda e la terza domanda sono piuttosto semplici: nella seconda si chiede di determinare una funzione polinomiale cubica in base a condizioni assegnate, e studiarne il grafico; la terza propone il calcolo di due facili integrali e altrettanto facili limiti. La quarta domanda è più complicata; l'argomento principale è il calcolo delle probabilità, ma occorre una lettura molto attenta del testo per comprendere che si deve studiare una distribuzione binomiale (anzi, due), e determinare i relativi parametri.

Che cosa ripassare

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2018: