Problema 2 - Testo prova sessione ordinaria 2018

Qui trovi il testo del problema 2 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2018!

Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema!

Appunti

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 2 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

Vuoi accedere alla soluzione? Acquista Maturità Mast Plus!

Paga con paypal o carta di credito

La funzione £$ f_k $£

Consideriamo la funzione £$f_k:\mathbb R \to \mathbb R$£ così definita:

$$ f_k(x)=-x^3+k\,x+9 $$

con £$k\in \mathbb Z$£.

Testo della domanda 1

Detto £$\Gamma_k$£ il grafico della funzione, verifica che per qualsiasi valore del parametro £$k$£ la retta £$r_k$£, tangente a £$\Gamma_k$£ nel punto di ascissa £$0$£ e la retta £$s_k$£, tangente a £$\Gamma_k$£ nel punto di ascissa £$1$£, si incontrano in un punto £$M$£ di ascissa £$\dfrac{2}{3}$£.

Testo della domanda 2

Dopo aver verificato che £$k=1$£ è il massimo intero positivo per cui l'ordinata del punto £$M$£ è minore di £$10$£, studia l'andamento della funzione £$f_1(x)$£, determinandone i punti stazionari e di flesso e tracciandone il grafico.

Testo della domanda 3

Detto £$T$£ il triangolo delimitato dalle rette £$r_1$£, £$s_1$£ e dall'asse delle ascisse, determina la probabilità che, preso un punto a caso £$P\,(x_P,y_P)$£ all'interno di £$T$£, questo si trovi al di sopra di £$\Gamma_1$£ (cioè che si abbia £$y_P>f_1(x_P)$£ per tale punto £$P$£).

Testo della domanda 4

Nella figura 3 è evidenziato un punto £$N\in \Gamma_1$£ e un tratto del grafico £$\Gamma_1$£. La retta normale a £$\Gamma_1$£ in £$N$£ (vale a dire la perpendicolare alla retta tangente a £$\Gamma_1$£ in quel punto) passa per l'origine degli assi £$O$£. Il grafico £$\Gamma_1$£ possiede tre punti con questa proprietà. Dimostra, più in generale, che il grafico di un qualsiasi polinomio di grado £$n>0$£ non può possedere più di £$2n-1$£ punti nei quali la retta normale al grafico passa per l'origine.

Figura 3

Leggiamolo insieme

L'elemento fondamentale del problema 2 è un polinomio di terzo grado, intorno al quale sono formulate le consuete quattro domande.

La risoluzione delle prime due è estremamente semplice; la prima riguarda una proprietà di certe rette tangenti al grafico dei polinomi proposti; la seconda richiede lo studio della funzione polinomiale e il disegno del grafico.

Le altre due domande sono decisamente più difficili. La terza, proposta come calcolo di una probabilità, richiede il calcolo dell'area di una regione piana compresa tra la cubica e determinate rette. Si tratta di una questione assai familiare per gli studenti del quinto anno del Liceo, e le primitive occorrenti per gli integrali che si devono calcolare sono immediate. Se non che, un estremo di due integrali occorrenti è la soluzione di un'equazione di terzo grado non determinabile elementarmente; si tratta certamente di una svista degli estensori del testo. Per procedere nella risoluzione bisogna usare un'approssimazione, cosa alla quale il testo non accenna, e che difficilmente uno studente farebbe di sua iniziativa. In sede di esame alcuni Commissari hanno ritenuto opportuno suggerire ai candidati questo compromesso, per toglierli da una situazione dalla quale non sapevano uscire.

Infine la quarta domanda, sulle rette normali al grafico di un polinomio, chiede la dimostrazione di una elegante proprietà dei grafici delle funzioni polinomiali. La dimostrazione non è laboriosa, nel senso che non ci sono calcoli complicati da svolgere o ragionamenti lunghi e artificiosi; tuttavia, diversamente dalla domande precedenti, tratta argomenti non consueti nella pratica dei candidati. Riteniamo che questa domanda risulti difficile per la maggior parte degli studenti. Inoltre il testo della domanda, pur non contenendo errori, non brilla per chiarezza.

Che cosa ripassare

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 2 della seconda prova di matematica della sessione ordinaria 2018: