Esercizi interattivi sui quesiti - seconda prova di matematica sessione suppletiva 2015

In questa lezione puoi allenarti a svolgere i 10 quesiti della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2015! Se hai dei dubbi non preoccuparti: ogni quesito è svolto e spiegato!

Appunti

I quesiti della seconda prova di matematica trattano quasi sempre i seguenti argomenti:

  • limiti: ripassa le forme indeterminate e i limiti notevoli;
  • derivate: ripassa come trovare i massimi e i minimi di una funzione e i principali teoremi sulle derivate;
  • integrali: ripassa come calcolare il volume dei solidi di rotazione, o l'area di una regione di piano;
  • probabilità e statistica: ripassa media, varianza, deviazione standard di variabili aleatorie e distribuzioni di probabilità;
  • geometria analitica nel piano e nello spazio: ripassa le equazioni della parabola, circonferenza, ellisse e iperbole nel piano, mentre nello spazio ripassa le equazioni di rette, piani e sfere. Riguardati le condizioni di tangenza e le principali proprietà di questi oggetti geometrici;
  • equazioni differenziali: ripassa cosa sono, come riconoscerle e come risolverle.

Allenati con gli esercizi interattivi: per ognuno trovi una soluzione spiegata passo passo!

Contenuti di questa lezione su: Esercizi interattivi sui quesiti - seconda prova di matematica sessione suppletiva 2015

Vuoi accedere alla soluzione? Acquista Maturità Mast Plus!

Paga con paypal o carta di credito

Ripasso della distribuzione binomiale

Se un evento £$E$£ ha probabilità £$p$£ di verificarsi e £$1-p$£ di non verificarsi, la variabile aleatoria che vale £$1$£ se si verifica £$E$£ e vale £$0$£ se non si verifica è una variabile aleatoria di Bernoulli (diciamo anche che ha una distribuzione di Bernoulli). Se l'evento £$E$£ viene ripetuto £$n$£ volte e tutte le ripetizioni sono indipendenti (cioè l'esito di una ripetizione non modifica la probabilità della ripetizione successiva), possiamo contare quante volte l'evento £$E$£ si verifica in £$n$£ ripetizioni (o tentativi). La variabile aleatoria £$X$£ che conta il numero di volte in cui £$E$£ si verifica in £$n$£ ripetizioni è una variabile aleatoria binomiale e si scrive £$X \sim B(n,p)$£. Come calcolare la probabilità che in £$n$£ ripetizioni dello stesso evento questo si verifichi £$k$£ volte? Ecco la formula per calcolare la probabilità di una variabile aleatoria binomiale:

$$p_k=P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$$

dove £$\binom{n}{k}$£ è il coefficiente binomiale e vale £$\frac{n!}{k!(n-k)!}$£

L'insieme dei valori di £$p_k$£, al variare di £$k$£ da £$0$£ (cioè zero successi) a £$n$£ (l'evento £$E$£ si è verificato in tutte le ripetizioni), forma la distribuzione della variabile aleatoria binomiale.

La media (o valore atteso) di una variabile aleatoria binomiale è £$\textrm{E}[X]=\sum_{k=0}^{n}k\cdot p_{k}=np$£ mentre per la varianza vale £$\textrm{Var}(X)=np(1-p)$£

Ripasso della distribuzione di Poisson

La variabile aleatoria di Poisson viene usata per calcolare la probabilità che un evento si verifichi un certo numero £$k$£ di volte. Sembra uguale alla variabile aleatoria binomiale, ma viene usata la variabile aleatoria di Poisson quando l'evento ha una probabilità piccola di verificarsi e il numero di ripetizione è molto grande.

Un esempio tipico dell'utilizzo della distribuzione di Poisson è calcolare il numero di telefonate che arrivano a un centralino in un determinato periodo di tempo. Infatti, il numero di persone che potrebbero fare una chiamata è (potenzialmente) molto grande e sono tutte indipendenti, ma la probabilità che ciascuno possa effettivamente chiamare è molto bassa.

La distribuzione di una variabile aleatoria £$X$£ di Poisson è:

$$p_{k}=P(X=k)=e^{-\lambda}\cdot \frac{\lambda^k}{k!}$$

dove £$\lambda$£ è il parametro della distribuzione di Poisson.

La media di una variabile aleatoria di Poisson è £$\textrm{E}[X]=\lambda$£ e la varianza vale £$\textrm{Var}[X]=\lambda$£. Questo significa che al crescere di £$\lambda$£ aumentano sia la media sia la dispersione dei valori.