Esercizi interattivi sui quesiti

In questa lezione puoi allenarti a svolgere i 10 quesiti della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2015! Se hai dei dubbi non preoccuparti: ogni quesito è svolto e spiegato!

2019-04-03 03:55:32

I quesiti della seconda prova di matematica trattano quasi sempre i seguenti argomenti:

  • limiti: ripassa le forme indeterminate e i limiti notevoli;
  • derivate: ripassa come trovare i massimi e i minimi di una funzione e i principali teoremi sulle derivate;
  • integrali: ripassa come calcolare il volume dei solidi di rotazione, o l'area di una regione di piano;
  • probabilità e statistica: ripassa media, varianza, deviazione standard di variabili aleatorie e distribuzioni di probabilità;
  • geometria analitica nel piano e nello spazio: ripassa le equazioni della parabola, circonferenza, ellisse e iperbole nel piano, mentre nello spazio ripassa le equazioni di rette, piani e sfere. Riguardati le condizioni di tangenza e le principali proprietà di questi oggetti geometrici;
  • equazioni differenziali: ripassa cosa sono, come riconoscerle e come risolverle.

Allenati con gli esercizi interattivi: per ognuno trovi una soluzione spiegata passo passo!

Contenuti di questa lezione su: Esercizi interattivi sui quesiti

Ripasso della distribuzione binomiale
Ripasso della distribuzione di Poisson

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Ripasso della distribuzione binomiale

Se un evento £$E$£ ha probabilità £$p$£ di verificarsi e £$1-p$£ di non verificarsi, la variabile aleatoria che vale £$1$£ se si verifica £$E$£ e vale £$0$£ se non si verifica è una variabile aleatoria di Bernoulli (diciamo anche che ha una distribuzione di Bernoulli). Se l'evento £$E$£ viene ripetuto £$n$£ volte e tutte le ripetizioni sono indipendenti (cioè l'esito di una ripetizione non modifica la probabilità della ripetizione successiva), possiamo contare quante volte l'evento £$E$£ si verifica in £$n$£ ripetizioni (o tentativi). La variabile aleatoria £$X$£ che conta il numero di volte in cui £$E$£ si verifica in £$n$£ ripetizioni è una variabile aleatoria binomiale e si scrive £$X \sim B(n,p)$£. Come calcolare la probabilità che in £$n$£ ripetizioni dello stesso evento questo si verifichi £$k$£ volte? Ecco la formula per calcolare la probabilità di una variabile aleatoria binomiale:

$$p_k=P(X=k)=\binom{n}{k}\cdot p^{k}\cdot (1-p)^{n-k}$$

dove £$\binom{n}{k}$£ è il coefficiente binomiale e vale £$\frac{n!}{k!(n-k)!}$£

L'insieme dei valori di £$p_k$£, al variare di £$k$£ da £$0$£ (cioè zero successi) a £$n$£ (l'evento £$E$£ si è verificato in tutte le ripetizioni), forma la distribuzione della variabile aleatoria binomiale.

La media (o valore atteso) di una variabile aleatoria binomiale è £$\textrm{E}[X]=\sum_{k=0}^{n}k\cdot p_{k}=np$£ mentre per la varianza vale £$\textrm{Var}(X)=np(1-p)$£

Ripasso della distribuzione di Poisson

La variabile aleatoria di Poisson viene usata per calcolare la probabilità che un evento si verifichi un certo numero £$k$£ di volte. Sembra uguale alla variabile aleatoria binomiale, ma viene usata la variabile aleatoria di Poisson quando l'evento ha una probabilità piccola di verificarsi e il numero di ripetizione è molto grande.

Un esempio tipico dell'utilizzo della distribuzione di Poisson è calcolare il numero di telefonate che arrivano a un centralino in un determinato periodo di tempo. Infatti, il numero di persone che potrebbero fare una chiamata è (potenzialmente) molto grande e sono tutte indipendenti, ma la probabilità che ciascuno possa effettivamente chiamare è molto bassa.

La distribuzione di una variabile aleatoria £$X$£ di Poisson è:

$$p_{k}=P(X=k)=e^{-\lambda}\cdot \frac{\lambda^k}{k!}$$

dove £$\lambda$£ è il parametro della distribuzione di Poisson.

La media di una variabile aleatoria di Poisson è £$\textrm{E}[X]=\lambda$£ e la varianza vale £$\textrm{Var}[X]=\lambda$£. Questo significa che al crescere di £$\lambda$£ aumentano sia la media sia la dispersione dei valori.

Esercizi svolti - Quesiti di Maturità

Ecco gli esercizi sui quesiti della sessione suppletiva 2015 completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a prepararti per la seconda prova di maturità. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti!

Attenzione: hai solo due tentavi di risposta. La spiegazione appare dopo il secondo tentativo e in ogni caso prima del passaggio all’esercizio successivo.

Tra gli esercizi del libro e gli esercizi interattivi in alcuni casi possono esserci alcune differenze (nella struttura della domanda, nelle consegne), introdotte perché non tutte le tipologie di esercizi che trovi su carta si prestano all'allenamento interattivo online.

Esercizi svolti - Quesiti di Maturità - 1

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