Problema 1 -Testo

Sei stato incaricato di progettare una pista da ballo all'esterno di un locale in costruzione in una zona balneare. Il progetto prevede, oltre alla pista, delle zone verdi e una tettoia che consenta l'uso della pista anche in caso di pioggia.

La pista da ballo viene rappresentata, in un sistema di riferimento cartesiano £$Oxy$£ in cui l'unità di misura corrisponde a £$1$£ metro, all'interno di un rettangolo avente come vertici i punti di coordinate £$(-4,0), (4,0), (-4,25)$£ e £$(4,25)$£; nella scelta della sagoma della pista va rispettato il vincolo urbanistico che stabilisce che essa non può occupare più del £$60\%$£ della superficie di tale rettangolo.

Un tuo collaboratore predispone due soluzioni: la prima è rappresentata dalla parte di piano compresa tra l'asse £$x$£ e la curva di equazione £$y=-\frac{25}{16}x^2+25$£, £$x\in [-4,4]$£, la seconda dalla parte di piano compresa tra l'asse £$x$£, la curva di equazione £$y=\frac{100}{4+x^2}$£ e le rette £$x=-2\sqrt{3}$£, £$x=2\sqrt{3}$£.

Studia le due soluzioni e traccia il grafico di entrambe nel riferimento cartesiano £$Oxy$£. Individua in particolare le caratteristiche delle due funzioni che sono più rilevanti nella fase di costruzione della pista: eventuali punti di massimo e di minimo, di flesso, angolosi.

Il proprietario del locale sceglie la seconda soluzione, che ritiene più elegante, ma ti chiede di realizzare due aiuole nelle porzioni di terreno compreso tra le due curve che gli hai proposto.

Determina l'area della soluzione scelta e verifica che essa rispetti i vincoli urbanistici, in modo da potere poi procedere all'acquisto del materiale necessario per la costruzione della pista.

Poiché lo scavo effettuato ai lati della pista ha reso il terreno scosceso, hai fatto eseguire delle misure e hai verificato che sia per £$x\in[-2\sqrt{3},0]$£ che per £$x\in[0,2\sqrt{3}]$£ la profondità dello scavo stesso varia con la legge lineare rappresentata dalla funzione £$f(x)=|x|+1$£; è dunque necessario acquistare del terreno per riempire lo scavo e realizzare le aiuole richieste.

Calcola quanti metri cubi di terreno vegetale sono necessari per riempire l'aiuola delimitata dalle suddette curve nell'intervallo £$[-2\sqrt{3},0]$£.

Per realizzare la tettoia è necessario usare un piano leggermente inclinato, per favorire il deflusso della pioggia. Nel sistema di riferimento cartesiano £$Oxyz$£ tale piano deve passare per i punti £$(-4,0,5)$£, £$(4,0,5)$£ e £$(0,25,4)$£ in modo che la quota vari gradualmente dai £$5$£ metri in corrispondenza dell'inizio della pista, ai £$4$£ metri in corrispondenza della fine della pista stessa.

Determina l'equazione del piano prescelto.

In linea con il tema assegnato nella Sessione ordinaria, il primo problema tratta un argomento applicativo; questa volta si parla di costruire una pista da ballo, descrivere il suo perimetro, riempire di terra certe aiuole. Non ci sono però le difficoltà che nella Sessione ordinaria risultano dalla natura "discreta" del problema: nel presente problema la veste applicativa è in sostanza ininfluente; si deve soltanto interpretare il testo per comprendere quali grandezze si debbono calcolare: per esempio nella domanda £$3$£, "quanti metri cubi di terreno vegetale sono necessari..." sollecita il calcolo del volume di un solido descritto nelle righe che precedono. (Qui c'è un evidente refuso: per riempire un'aiuola sono necessari alcuni metri cubi di terriccio, non di terreno).

Il problema tratta principalmente argomenti di Analisi matematica: studio di due funzioni (molto semplici); calcolo di un'area e di un volume mediante integrali, pure questi non difficili; la quarta domanda chiede infine l'equazione del piano passante per tre punti dati.

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2015:

• La parabola
• Le proprietà delle funzioni razionali
• Calcolo di aree di regioni piane e di volumi di solidi mediante l'integrale
• L'equazione del piano passante per tre punti.