Ripassiamo il teorema di De l'Hôpital

Il teorema di De L’Hôpital, insieme ai teoremi di Rolle, Lagrange e Cauchy, parla delle funzioni derivabili, ma rispetto agli altri è più conosciuto e usato (e amato, soprattutto dagli studenti).
Spesso sentirai anche parlare di formula di De L’Hôpital, che non è altro che la tesi di questo teorema. È Il teorema più famoso tra quelli delle funzioni derivabili perché permette di risolvere alcuni limiti che all'apparenza sono difficili da calcolare.
Usiamo il teorema di De L’Hôpital quando, risolvendo un limite, troviamo una di queste forme indeterminate: £$ \left[ \dfrac{0}{0} \right] $£ e £$ \left[ \dfrac{\infty}{\infty} \right]$£, oppure tutte quelle forme indeterminate che non riusciamo a eliminare e si possono ricondurre a una di queste due.
Ma vediamo quando si può applicare il teorema di De L'Hopital. Intanto, partiamo dall'enunciato.
Date due funzioni £$ f $£ e £$g$£ che siano:

  1. continue in un punto £$x_0$£
  2. derivabili (almeno) in £$ I(x_0) \setminus {x_0} $£
  3. tali che il limite per £$ x $£ che tende a £$x_0$£ o a infinito del rapporto fra £$ \dfrac{f(x)}{g(x)} $£
  4. £$ g’(x) \ne 0 $£ in £$ I(x_{0}) \setminus {x_0}$£
  5. esiste £$ \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}$£

Allora il limite del rapporto fra le due funzioni è uguale al limite del rapporto delle loro derivate

£$ \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f(x)}{g(x)}= \lim\limits_{x \to x_0} \dfrac{f’(x)}{g’(x)}$£

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