Preparati alla Maturità: testo, svolgimento e soluzioni di tutti i Quesiti di matematica, seconda prova del Liceo Scientifico, Sessione Suppletiva 2016.

Quesiti - Testo

Trovi il testo dei 10 quesiti che sono stati assegnati alla seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2016.

Qual è la strategia migliore per scegliere i 5 quesiti da svolgere alla seconda prova? Una vera strategia purtroppo non esiste, però puoi seguire questi consigli:

  • Leggi bene tutti i 10 quesiti;
  • Accanto ad ognuno scrivi l'argomento di matematica che ti sembra utile per risolverlo;
  • Quanti di questi argomenti hai svolto e ricordi?
    • Se ci sono almeno 5 quesiti in cui sai proporre una buona strategia matematica risolutiva, beh sei fortunato! Scegli quelli e inizia a svolgerli;
    • Altrimenti svolgi subito i quesiti sugli argomenti che conosci e poi concentrati sugli altri. Spesso l'argomento che hai individuato e che credi di non aver fatto a scuola è legato a qualche cosa che invece conosci: guarda le formule, analizza il testo e cerca tutti i legami possibili con gli argomenti che sai.

Scrivi sempre le tue idee e proponi strategie che ti sembrano sensate. Il tuo ragionamento, se corretto, verrà valutato positivamente, anche senza i calcoli!

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Testo del quesito 1

Si consideri questa equazione differenziale:

$$ y''+2y'+2y=x\,. $$

Quale delle seguenti funzioni ne è soluzione? Si giustifichi la risposta.

$$ \begin{array}{lcr} \text{a})\;\; y = {e^{ - x}}(\text{sen } x + \cos x) + x & \text{b})\;\; y = 2{e^{-x}} + x \\ \text{c}) \; y = {e^{ - x}}(\text{sen } x + \cos x)+\frac{1}{2}(x-1) & \text{d}) \;\; y = {e^{ - 2x}} + x \\ \end{array} $$

Testo del quesito 2

Data la funzione così definita in £$\mathbb{R}$£:

$$ f(x)=x\cdot e^{-|x^3-1|}, $$

determinare minimi, massimi ed eventuali asintoti.

Testo del quesito 3

Determinare la velocità di variazione dello spigolo di un cubo, sapendo che il volume del cubo è pari a £$0{,}1\; \text{m}^3$£ e sta diminuendo alla velocità di £$1200\dfrac{\text{cm}^3}{\text{sec}}$£.

Testo del quesito 4

Posto, per £$n\in\mathbb{N}$£, £$A_n=\int_0^1 x^n e^x\,dx$£, stabilire il valore di £$A_1$£ e dimostrare che per ogni £$ n > 0 $£ si ha:

$$ A_n=e-n\,A_{n-1}\,. $$

Testo del quesito 5

I lati di un triangolo £$ABC$£ misurano £$\overline{AB}=5\,\text{cm}$£, £$\overline{BC}=6\,\text{cm}$£, £$\overline{CA}=5\,\text{cm}$£. Preso a caso un punto £$P$£ all'interno del triangolo, qual è la probabilità che £$P$£ sia più vicino al vertice £$B$£ che al vertice £$A$£?

Testo del quesito 6

I punti £$A\,(3,4,1)$£, £$B\,(6,3,2)$£, £$C\,(3,0,3)$£, £$D\,(0,1,2)$£ sono vertici di un quadrilatero £$ABCD$£. Si dimostri che tale quadrilatero è un parallelogramma e si controlli se esso è un rettangolo.

Testo del quesito 7

Determinare la distanza tra il punto £$P\,(2,1,1)$£ e la retta

\[\left\{ \begin{array}{l} x + y = z + 1\\ z = - y + 1 \end{array} \right.\]

Testo del quesito 8

Supponiamo che l'intervallo di tempo £$t$£ (in anni) tra due cadute di fulmini in un'area di £$100\,\text{m}^2$£ sia dato da una variabile casuale continua con funzione di ripartizione:

$$ P(t\leq z)=\int_0^z 0,01\cdot e^{-0,01\,s}ds $$

a) Si calcoli la probabilità che, in tale area, i prossimi due fulmini cadano entro non più di £$200$£ anni uno dall'altro.

b) Si determini qual è il minimo numero di anni £$z$£, tale che sia almeno del £$95\, \% $£ la probabilità che i prossimi due fulmini cadano in tale area entro non più di £$z$£ anni l'uno dall'altro.

Testo del quesito 9

Una curva "a spirale" inizia nel punto £$A$£, come indicato in figura 2, ed è formata congiungendo un numero infinito di semicirconferenze di diametri sempre più piccoli. Il diametro £$d_1$£ della prima semicirconferenza è di £$80 \text{cm}$£. Il diametro £$d_2$£ della seconda è pari ai £$\frac{3}{5}$£ di £$d_1$£. Il diametro £$d_3$£ della terza è pari ai £$\frac{3}{5}$£ di £$d_2$£, e così via: £$d_{n+1}=\frac{3}{5}d_n$£ per ogni £$n$£.

Con lo sviluppo della curva, gli estremi delle varie semicirconferenze tendono al cosiddetto "occhio" £$E$£ della spirale (ossia l'unico punto contenuto in tutti i vari diametri).

Qual è la distanza (in linea retta) tra il punto £$A$£ e il punto £$E$£?

E qual è la lunghezza del cammino che va da £$A$£ ad £$E$£, percorrendo l'intera curva?

Testo del quesito 10

Si stabilisca il valore del limite

\[\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{2 - 73 \cdot {{\cos }^3}(4x + {\textstyle{\pi \over {11}}})}}{{5x - {\text{sen}^2}(x - {\textstyle{\pi \over 7}})}}\]

motivando adeguatamente la risposta.