Problema 1 -Testo

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Qui trovi il testo del problema 1 della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2016! Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Appunti

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Testo della domanda 1

Sei l'amministratore di un condominio che ha deliberato di dotarsi di una sala per le riunioni condominiali, sfruttando uno spazio comune già disponibile, da coprire e attrezzare.

La superficie individuata è rappresentata figura 1.

La superficie viene chiusa con pareti laterali alte £$3{,}60$£ metri e con un tetto piano e orizzontale. Uno dei condomini ti fa presente la necessità di prevedere un impianto di aerazione nella sala, in quanto la mancanza di un adeguato ricambio d'aria in locali chiusi può provocare una serie di disturbi fisici, a causa dell'accumulo di £$CO_2$£ (anidride carbonica o diossido di carbonio). Di norma si considera come valore limite della concentrazione di £$CO_2$£ lo £$0{,}15\%$£: su £$1$£ milione di particelle d'aria il massimo numero di molecole di £$CO_2$£ deve essere dunque £$1500$£.

Nella scelta dell'impianto di aerazione un parametro fondamentale è la potenza in kilowatt, che dipende dal volume dell'ambiente in cui esso viene utilizzato.

Figura 1.

La seguente scheda tecnica, fornita dal produttore, fa riferimento alle comuni esigenze di utilizzo:

$$ \begin{array}{ccr} \hline \text{METRI CUBI DA AERARE}\qquad& \text{POTENZA RICHIESTA (Kilowatt)}\\\hline 41 & 2\\\hline 68 & 2{,}6\\\hline 108 & 3{,}5\\\hline135 & 4{,}4\\\hline 162 & 5{,}3\\\hline 216 & 6{,}1\\\hline 270 & 7{,}2\\\hline \end{array} $$

In base ai dati disponibili e alla scheda tecnica, stima la potenza in kilowatt necessaria, giustificando la tua scelta.

Testo della domanda 2

In occasione di una riunione di condominio, un rilevatore di £$CO_2$£ installato nella sala indica una concentrazione dello £$0{,}3\%$£; i condomini chiedono quindi di accendere l'impianto di aerazione, in modo che all'ora di inizio della riunione la concentrazione sia stata ridotta allo £$0,15\%$£. Il sistema di aerazione immette nella sala £$20\dfrac{\text{m}^3}{\text{minuto}}$£ di aria fresca contenente lo £$0{,}1\%$£ di £$CO_2$£.

Approssimando il volume della sala a £$130\;\text{m}^3$£, ricava l'equazione differenziale che descrive l'andamento della concentrazione £$c(t)$£ in funzione del tempo £$t$£ (espresso in minuti). Verifica inoltre che la funzione £$c(t)=k\cdot e^{-\frac{2}{13}t}+h$£ è una soluzione di tale equazione differenziale.

Testo della domanda 3

Determina i valori da assegnare alle costanti £$k$£ e £$h$£ in modo che la funzione £$c(t)$£ rappresenti l'andamento della concentrazione di £$CO_2$£ a partire dall'istante £$t=0$£ di accensione dell'aeratore. Stabilisci quindi quanto tempo prima dell'inizio della riunione esso deve essere acceso, per soddisfare la richiesta dei condomini.

Testo della domanda 4

L'impianto è in funzione da £$10$£ minuti, quando i £$50$£ partecipanti alla riunione accedono alla sala. Considerando che l'impianto rimane acceso anche durante la riunione e che un essere umano mediamente espira £$8$£ litri/minuto di aria contenente il £$4\%$£ di £$CO_2$£ (fonte: OSHA, Occupational Safety and Health Administration), descrivi in termini qualitativi come cambierà l'andamento di £$c(t)$£ dopo l'ingresso dei condomini nella sala, giustificando la tua risposta.

Leggiamolo insieme

Il problema consiste principalmente nella descrizione di un vero e proprio modello matematico sotto forma di equazione differenziale che descrive come si evolve la concentrazione di £$CO_2$£ in una sala in cui è in funzione un impianto di aerazione. Si tratta di una questione niente affatto facile, anche perché poco o per nulla trattata nei corsi scolastici. La domanda £$1$£, introduttiva, più facile, chiede (in modo indiretto e un po' contorto) di stimare l'area di una figura geometrica fornita dalla traccia. Dalla seconda domanda si passa al modello matematico; si chiede infatti di trovare l'equazione differenziale soddisfatta dalla "concentrazione" di £$CO_2$£ nell'aria di una sala in funzione del tempo. Risolvere l'equazione differenziale sarebbe cosa assai più semplice che crearla, ma la risoluzione non è richiesta; si chiede infatti di verificare che una data espressione assegnata nella traccia soddisfa l'equazione; purtroppo il testo contiene un errore: non tutte le funzioni descritte dalla formula data soddisfano l'equazione differenziale; questo, si capisce, mette in ulteriore difficoltà un risolutore necessariamente inesperto. La terza domanda è più semplice, risolubile con un facile calcolo; è necessario però avere risolto interamente la domanda precedente, assai più difficile.

La quarta e ultima domanda introduce un altro elemento di cui tenere conto nella costruzione del modello matematico; chi è stato in grado di costruire il modello richiesto nella domanda £$2$£ può agevolmente adattare il ragionamento alla nuova situazione. Ciò che viene chiesto, in verità, non è di adattare il modello in modo dettagliato, ma soltanto di descrivere "in termini qualitativi" che cosa cambia; uno "sconto" non particolarmente significativo. Il problema è nel suo complesso alquanto difficile, probabilmente al di sopra delle possibilità di uno studente liceale, anche ben preparato.

Che cosa ripassare

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2016: