Problema 1 -Testo

In occasione di una riunione di condominio, un rilevatore di £$CO_2$£ installato nella sala indica una concentrazione dello £$0{,}3\%$£; i condomini chiedono quindi di accendere l'impianto di aerazione, in modo che all'ora di inizio della riunione la concentrazione sia stata ridotta allo £$0,15\%$£. Il sistema di aerazione immette nella sala £$20\dfrac{\text{m}^3}{\text{minuto}}$£ di aria fresca contenente lo £$0{,}1\%$£ di £$CO_2$£.

Approssimando il volume della sala a £$130\;\text{m}^3$£, ricava l'equazione differenziale che descrive l'andamento della concentrazione £$c(t)$£ in funzione del tempo £$t$£ (espresso in minuti). Verifica inoltre che la funzione £$c(t)=k\cdot e^{-\frac{2}{13}t}+h$£ è una soluzione di tale equazione differenziale.

Determina i valori da assegnare alle costanti £$k$£ e £$h$£ in modo che la funzione £$c(t)$£ rappresenti l'andamento della concentrazione di £$CO_2$£ a partire dall'istante £$t=0$£ di accensione dell'aeratore. Stabilisci quindi quanto tempo prima dell'inizio della riunione esso deve essere acceso, per soddisfare la richiesta dei condomini.

L'impianto è in funzione da £$10$£ minuti, quando i £$50$£ partecipanti alla riunione accedono alla sala. Considerando che l'impianto rimane acceso anche durante la riunione e che un essere umano mediamente espira £$8$£ litri/minuto di aria contenente il £$4\%$£ di £$CO_2$£ (fonte: OSHA, Occupational Safety and Health Administration), descrivi in termini qualitativi come cambierà l'andamento di £$c(t)$£ dopo l'ingresso dei condomini nella sala, giustificando la tua risposta.

Il problema consiste principalmente nella descrizione di un vero e proprio modello matematico sotto forma di equazione differenziale che descrive come si evolve la concentrazione di £$CO_2$£ in una sala in cui è in funzione un impianto di aerazione. Si tratta di una questione niente affatto facile, anche perché poco o per nulla trattata nei corsi scolastici. La domanda £$1$£, introduttiva, più facile, chiede (in modo indiretto e un po' contorto) di stimare l'area di una figura geometrica fornita dalla traccia. Dalla seconda domanda si passa al modello matematico; si chiede infatti di trovare l'equazione differenziale soddisfatta dalla "concentrazione" di £$CO_2$£ nell'aria di una sala in funzione del tempo. Risolvere l'equazione differenziale sarebbe cosa assai più semplice che crearla, ma la risoluzione non è richiesta; si chiede infatti di verificare che una data espressione assegnata nella traccia soddisfa l'equazione; purtroppo il testo contiene un errore: non tutte le funzioni descritte dalla formula data soddisfano l'equazione differenziale; questo, si capisce, mette in ulteriore difficoltà un risolutore necessariamente inesperto. La terza domanda è più semplice, risolubile con un facile calcolo; è necessario però avere risolto interamente la domanda precedente, assai più difficile.

La quarta e ultima domanda introduce un altro elemento di cui tenere conto nella costruzione del modello matematico; chi è stato in grado di costruire il modello richiesto nella domanda £$2$£ può agevolmente adattare il ragionamento alla nuova situazione. Ciò che viene chiesto, in verità, non è di adattare il modello in modo dettagliato, ma soltanto di descrivere "in termini qualitativi" che cosa cambia; uno "sconto" non particolarmente significativo. Il problema è nel suo complesso alquanto difficile, probabilmente al di sopra delle possibilità di uno studente liceale, anche ben preparato.

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2016:

• Aree di figure piane elementari (triangoli parallelogrammi, trapezi) e il Teorema di Archimede sull'area del segmento parabolico;
• Rapporto incrementale e definizione di derivata;
• Equazioni esponenziali;
• Modelli matematici basati su equazioni differenziali.