Problema 2 - Testo

Qui trovi il testo del problema 2 della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2016! Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Appunti

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 2 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Testo della domanda 1

Fissato £$k\in\mathbb{R}$£, la funzione £$g_k:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$£ è così definita: £$g_k(x)=e^{-k\cdot x^2}$£.

Si indica con £$\Gamma_k$£ il suo grafico, in un riferimento cartesiano £$Oxy$£.

Descrivi, a seconda delle possibili scelte di £$k\in\mathbb{R}$£, l'andamento della funzione £$g_k$£.

Testo della domanda 2

Determina per quali £$k\in\mathbb{R}$£ il grafico £$\Gamma_k$£ possiede punti di flesso e dimostra che, in tali casi, le ordinate dei punti di flesso non dipendono dal valore di £$k$£ e che le rette tangenti nei punti di flesso, qualunque sia £$k$£, passano tutte per il punto £$T\,\bigl(0,\dfrac{2}{\sqrt{e}}\bigr)$£.

Testo della domanda 3

Assumi nel seguito £$k>0$£. Sia £$S_k$£ la regione di piano compresa tra l'asse £$x$£ e £$\Gamma_k$£.

Prova che esiste un unico rettangolo £$R_k$£ di area massima, tra quelli inscritti in £$S_k$£ e aventi un lato sull'asse £$x$£, e che tale rettangolo ha tra i suoi vertici i punti di flesso di £$\Gamma_k$£. È possibile scegliere £$k$£ in modo che tale rettangolo £$R_k$£ sia un quadrato?

Testo della domanda 4

Posto $$ G(t)=2\pi\int_0^t x\cdot e^{-x^2}dx $$ determina il valore di £$\mathop {\lim }\limits_{t \to + \infty } G(t)$£, e interpreta il risultato in termini geometrici.

Leggiamolo insieme

Diversamente dal primo problema, fortemente innovativo e assai difficile, il problema £$2$£ è un tradizionale problema di analisi matematica con applicazioni geometriche. Si studia una famiglia di funzioni esponenziali dipendenti da un parametro, si scrive l'equazione della retta tangente al grafico in certi punti; si risolve un semplice problema di massimo per l'area di un rettangolo e infine si calcola un integrale, anche questo non particolarmente difficoltoso. È singolare il fatto che in una prova in cui il candidato deve scegliere uno solo tra due problemi, ce ne sia uno decisamente difficile accanto a un altro sensibilmente più facile sotto ogni punto di vista.