Quesiti - Testo

Trovi il testo dei 10 quesiti che sono stati assegnati alla seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2017.

Qual è la strategia migliore per scegliere i 5 quesiti da svolgere alla seconda prova? Una vera strategia purtroppo non esiste, però puoi seguire questi consigli:

  • Leggi bene tutti i 10 quesiti;
  • Accanto ad ognuno scrivi l'argomento di matematica che ti sembra utile per risolverlo;
  • Quanti di questi argomenti hai svolto e ricordi?
    • Se ci sono almeno 5 quesiti in cui sai proporre una buona strategia matematica risolutiva, beh sei fortunato! Scegli quelli e inizia a svolgerli;
    • Altrimenti svolgi subito i quesiti sugli argomenti che conosci e poi concentrati sugli altri. Spesso l'argomento che hai individuato e che credi di non aver fatto a scuola è legato a qualche cosa che invece conosci: guarda le formule, analizza il testo e cerca tutti i legami possibili con gli argomenti che sai.

Scrivi sempre le tue idee e proponi strategie che ti sembrano sensate. Il tuo ragionamento, se corretto, verrà valutato positivamente, anche senza i calcoli!

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Testo del quesito 1

Consideriamo la funzione £$f(x)=e^{3-x}$£. Preso un numero reale £$a$£, sia £$R_a$£ la regione illimitata formata dai punti aventi ascissa £$x>a$£ che sono compresi tra il grafico di £$f$£ e l'asse £$x$£. Per quale valore di £$a$£ l'area di £$R_a$£ risulta pari a £$2$£?

Testo del quesito 2

Determinare l'equazione della retta perpendicolare nel punto £$(1,0,3)$£ al piano di equazione £$3x+2y-z=0$£.

Testo del quesito 3

Una variabile aleatoria, i cui valori appartengono all'intervallo £$[0,2]$£ è distribuita secondo la densità di probabilità data da £$p(x)=k\cdot x^2(2-x)$£, dove £$k$£ è una costante opportuna. Si stabilisca il valore medio della variabile aleatoria considerata.

Testo del quesito 4

Rappresentare il grafico della funzione:

$$ f(x)=\Bigl|\frac{3-2x}{x-3}\Bigr|\,. $$

Verificare se negli intervalli £$[0,2]$£ e £$[4,6]$£ valgono le ipotesi del Teorema di Lagrange, e in caso affermativo trovare i punti la cui esistenza è prevista dal Teorema di Lagrange. Esiste un intervallo £$[a,b]$£ in cui si possa applicare il Teorema di Rolle? Giustificare la risposta.

Testo del quesito 5

Sia £$f(x)=\text{sen } x+\cos x$£. Determinare £$f^{(2017)}(x)$£, esplicitando, in modo chiaro ed esauriente, il procedimento seguito.

Testo del quesito 6

Determinare la distanza tra il punto £$P\;(6,6,8)$£ e la retta:

$$ \left\{ \begin{array}{l}
x - y = 2z + 1\\
z = y + 1
\end{array} \right. $$

Testo del quesito 7

Alberto e Barbara giocano lanciando un dado. Quando esce 1, 2, 3 o 4 Alberto fa 1 punto, quando esce 5 o 6 Barbara fa 2 punti. Vince chi arriva per primo a 6 punti. Qual è la probabilità che entrambi realizzino almeno 1 punto nel corso della partita? Qual è la probabilità che, in un certo momento della partita, il punteggio sia di 4 a 4?

Testo del quesito 8

Stabilire se le rette

$$ \begin{array}{l}
r\;:\;\;\;\;y = 5x - 6\\
s\;:\;\;\;\;y = 21x + 25
\end{array} $$

sono tangenti alla curva £$\delta$£ di equazione:

$$ y=x^3-2x^2+x+1\,. $$

Testo del quesito 9

Data la funzione £$f(x)=x^2+1$£, £$x\in\mathbb{R}$£, determinare il volume del solido ottenuto dalla rotazione attorno all'asse delle £$y$£ della porzione di piano delimitata dal grafico di £$f(x)$£ e dall'asse delle ascisse per £$x\in[0,3]$£.

Testo del quesito 10

Trovare una funzione £$g$£, il cui insieme di definizione sia un qualsiasi intervallo contenente 0, tale che:

$$ g(0)=0\,,\;\;g'(0)=0\,,\;\;g''(0)=0\,,\;\;g'''(0)=1\,,\;\;g^{(4)}(0)=1\,,\;\;g^{(5)}(0)=1\,. $$

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