Problema 1 - Testo

Qui trovi il testo del problema 1 della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2017! Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Testo della domanda 1

Un gioco si svolge su un tabellone, che è suddiviso in tre settori £$A$£, £$B$£, £$C$£, come in figura 1.

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Nei vari settori possono essere collocate alcune pedine. I settori confinano a due a due attraverso tre varchi (rappresentati nella figura con tratti ondulati). Prima di ogni partita, per ciascun varco si effettua un sorteggio che stabilisce se esso sarà aperto oppure chiuso. La probabilità che un varco sia aperto è pari a un certo valore £$x$£ (lo stesso valore per tutti e tre) ed i tre sorteggi sono tra loro indipendenti.

Durante il gioco, una pedina potrà spostarsi attraversando i varchi aperti. In questo modo, a seconda di quali varchi sono aperti, la pedina £$P$£, inizialmente collocata in £$A$£, potrebbe raggiungere o tutti e 3 i settori, oppure solo 2 (£$A$£ e un altro), oppure 1 solo (non può uscire da £$A$£).
Indichiamo con £$p_1(x)$£, £$p_2(x)$£, £$p_3(x)$£ le probabilità che i settori raggiungibili dalla pedina £$P$£ partendo da £$A$£ siano solo 1, oppure 2, oppure 3.


1) Dimostrare che

$$ p_1(x)=(1-x)^2,\;\;\;\;\;p_2(x)=2x(1-x)^2,\;\;\;\;\;p_3(x)=x^3+3x^2(1-x) $$

e tracciare, in uno stesso diagramma, i grafici delle funzioni £$p_1(x)$£, £$p_2(x)$£, £$p_3(x)$£ per £$x\in[0,1]$£.

Testo della domanda 2

È vero che, qualunque sia £$x\in[0,1]$£, almeno una delle probabilità £$p_1(x)$£, £$p_2(x)$£, £$p_3(x)$£ deve essere maggiore di £$0,3$£ e almeno una deve essere minore di £$0,4$£?

Testo della domanda 3

Provare che esiste un unico £$x_0\in[0,1]$£ tale che £$p_1(x_0)=p_3(x_0)$£ e stabilire se vale la disuguaglianza: £$x_0>\frac{1}{2}$£.

Discutere inoltre, al variare di £$x$£ in £$[0,1]$£, quali delle tre possibilità indicate (che i settori raggiungibili da £$P$£ siano 1, 2 o 3) sono più probabili e quali meno.

Testo della domanda 4

Stabilire quali son i tre valori medi delle funzioni che esprimono le probabilità £$p_1(x)$£, £$p_2(x)$£, £$p_3(x)$£. Nel caso £$x=\frac{1}{2}$£ quali sono il valore medio e la varianza della variabile casuale che fornisce il numero di settori raggiungibili da £$P$£?

Leggiamolo insieme

Il problema 1 riguarda in parte il Calcolo delle probabilità, ma contiene anche applicazioni di argomenti di Analisi matematica, come studi di funzioni e integrali. La prima domanda contiene appunto la richiesta di determinare le probabilità di tre eventi, in funzione di una probabilità incognita £$x$£; questo calcolo richiede una certa attenzione. Opportunamente il testo fornisce le espressioni che il candidato deve ricavare, cosicché il proseguimento dell'esercizio non è precluso a chi non riesce a trovare tali espressioni, o commette qualche errore nella loro determinazione. Delle tre funzioni ottenute si deve svolgere lo studio e tracciare il grafico; ciò non comporta grosse difficoltà, trattandosi di espressioni molto semplici: due polinomi di grado 3 e uno di grado 2. La seconda domanda è una semplice osservazione conseguente dalle proprietà fondamentali della probabilità. La terza domanda lascia momentaneamente da parte il Calcolo delle probabilità; si tratta essenzialmente di un'applicazione del Teorema degli zeri, oltre alla richiesta di confrontare fra loro le tre funzioni determinate per la domanda 1; quest'ultimo punto non è privo di difficoltà. La quarta e ultima domanda propone il calcolo di tre semplici integrali, e infine ritorna nell'ambito del Calcolo delle probabilità, con la richiesta di calcolare media e varianza di una variabile aleatoria discreta; viene messa alla prova soltanto la conoscenza delle definizioni di queste grandezza, perché il loro calcolo non presenta altre difficoltà se non quella di applicare le formule opportune.

Che cosa ripassare

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2017:

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