Testo della domanda 1
Un gioco si svolge su un tabellone, che è suddiviso in tre settori £$A$£, £$B$£, £$C$£, come in figura 1.
Nei vari settori possono essere collocate alcune pedine. I settori confinano a due a due attraverso tre varchi (rappresentati nella figura con tratti ondulati). Prima di ogni partita, per ciascun varco si effettua un sorteggio che stabilisce se esso sarà aperto oppure chiuso. La probabilità che un varco sia aperto è pari a un certo valore £$x$£ (lo stesso valore per tutti e tre) ed i tre sorteggi sono tra loro indipendenti.
Durante il gioco, una pedina potrà spostarsi attraversando i varchi aperti. In questo modo, a seconda di quali varchi sono aperti, la pedina £$P$£, inizialmente collocata in £$A$£, potrebbe raggiungere o tutti e 3 i settori, oppure solo 2 (£$A$£ e un altro), oppure 1 solo (non può uscire da £$A$£).
Indichiamo con £$p_1(x)$£, £$p_2(x)$£, £$p_3(x)$£ le probabilità che i settori raggiungibili dalla pedina £$P$£ partendo da £$A$£ siano solo 1, oppure 2, oppure 3.
1) Dimostrare che
$$ p_1(x)=(1-x)^2,\;\;\;\;\;p_2(x)=2x(1-x)^2,\;\;\;\;\;p_3(x)=x^3+3x^2(1-x) $$
e tracciare, in uno stesso diagramma, i grafici delle funzioni £$p_1(x)$£, £$p_2(x)$£, £$p_3(x)$£ per £$x\in[0,1]$£.
