Preparati alla Maturità: testo, svolgimento e soluzioni di tutti i Quesiti di matematica, seconda prova del Liceo Scientifico, Sessione Suppletiva 2018.

Quesiti - Testo

Trovi il testo dei 10 quesiti che sono stati assegnati alla seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2018.

Qual è la strategia migliore per scegliere i 5 quesiti da svolgere alla seconda prova? Una vera strategia purtroppo non esiste, però puoi seguire questi consigli:

  • Leggi bene tutti i 10 quesiti;
  • Accanto ad ognuno scrivi l'argomento di matematica che ti sembra utile per risolverlo;
  • Quanti di questi argomenti hai svolto e ricordi?
    • Se ci sono almeno 5 quesiti in cui sai proporre una buona strategia matematica risolutiva, beh sei fortunato! Scegli quelli e inizia a svolgerli;
    • Altrimenti svolgi subito i quesiti sugli argomenti che conosci e poi concentrati sugli altri. Spesso l'argomento che hai individuato e che credi di non aver fatto a scuola è legato a qualche cosa che invece conosci: guarda le formule, analizza il testo e cerca tutti i legami possibili con gli argomenti che sai.

Scrivi sempre le tue idee e proponi strategie che ti sembrano sensate. Il tuo ragionamento, se corretto, verrà valutato positivamente, anche senza i calcoli!

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Testo del quesito 1

Considerati nel piano cartesiano i punti £$A\,(0,0)$£ e £$B\,(\pi,0)$£, sia £$R$£ la regione piana delimitata dal segmento £$AB$£ e dall'arco di curva avente equazione £$y=4\textrm{sen } x$£, con £$0\leq x\leq\pi$£. Calcolare il massimo perimetro che può avere un rettangolo inscritto in £$R$£ avente un lato contenuto nel segmento £$AB$£.

Testo del quesito 2

Si consideri la funzione £$f(x)=\dfrac{1}{x}$£ nell'intervallo £$[p,2p]$£ e, detto £$\Gamma$£ il suo grafico, sia £$t$£ la retta tangente a £$\Gamma$£ nel suo punto di ascissa £$p$£. Determinare, al variare di £$p$£, le aree delle due parti in cui la retta £$t$£ divide la regione finita di piano compresa fra £$\Gamma$£ e l'asse delle ascisse.

Testo del quesito 3

Determinare l'equazione della superficie sferica di centro £$C\,(1,-1,2)$£ tangente al piano di equazione £$x-y+z=10$£ e le coordinate del punto di contatto tra la superficie sferica e il piano.

Testo del quesito 4

Verificare che £$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n(x)\,dx=\frac{n-1}{n}\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^{n-2}(x)\,dx$£ per £$n>1$£ e usare questo risultato per calcolare £$\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^4(x)\,dx$£.

Testo del quesito 5

Si lancia £$n$£ volte un dado regolare a sei facce. Qual è il più piccolo valore di £$n$£ tale che la probabilità che non esca mai il numero £$3$£ sia minore dello £$0,01\%$£?

Testo del quesito 6

Data la funzione £$y=x\,|a\,x^2+b|-3$£, determinare il valore dei coefficienti £$a$£ e £$b$£ per i quali il grafico della funzione è tangente nel punto di ascissa £$x=1$£ alla retta di equazione £$y=7x-9$£.

Testo del quesito 7

Date le curve £$\gamma_1$£ e £$\gamma_2$£ di equazioni rispettivamente £$y=x^2+1$£ e £$y=x^2-8x+9$£, sia £$t$£ la retta che è tangente a entrambe. Stabilire l'area della regione piana di area finita che è delimitata da £$\gamma_1$£, £$\gamma_2$£ e £$t$£.

Testo del quesito 8

Una variabile casuale, a valori nell'intervallo £$[0,10]$£, è distribuita secondo la densità di probabilità data dalla funzione

$$ f(x) = \left\{ \begin{array}{l} \dfrac{1}{3} - \dfrac{1}{4}{x^2}, & 0 \le x \le 1 \\\\ \dfrac{1}{12}\,, & 1 < x \le 10 \end{array} \right. $$

Stabilire il valore medio e il valore mediano di questa variabile casuale.

Testo del quesito 9

Determinare il luogo geometrico dei punti £$P\,(x,y,z)$£ equidistanti dai punti £$A\,(0,1,2)$£ e £$B\,(-3,2,0)$£.

Testo del quesito 10

Verificare che la funzione £$y=e^{-x}\textrm{sen } x$£ è soluzione dell'equazione differenziale £$y''+2y'+2y=0$£.