Problema 1 - Testo

Qui trovi il testo del problema 1 della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2018! Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!

Appunti

Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica:

  • Leggi con attenzione il testo dell'esercizio: non devi perdere tempo per calcolare qualcosa di non richiesto e soprattutto non devi fraintendere il testo
  • Nella sezione "Leggiamolo insieme" ci sono alcuni commenti e suggerimenti sul problema che ti saranno utili per chiarire le parti di testo più complicate
  • Leggi la sezione "Che cosa ripassare" e domandati: mi sento preparato su tutti gli argomenti elencati? Se la risposta è no riguarda le nozioni sulle quali non ti senti sicuro!

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Descrizione del contesto

Un artigiano deve realizzare una cornice in cui inscrivere uno specchio di forma circolare. A partire da una tavola quadrata di lato £$3\pi$£ decimetri (approssimato alla seconda cifra decimale), adoperando una macchina a controllo numerico £$(CNC)$£, incide su ciascun lato una decorazione che rappresenta una porzione di curva goniometrica come si vede in figura 1.

Figura 1

La macchina traccia sul lato giacente sull'asse delle ascisse la curva descritta dalla funzione £$y=k |\textrm{sen } x|$£ con £$x\in [0,3\pi]$£ e £$k$£ parametro reale positivo. La cornice viene ruotata per realizzare la decorazione su ciascun lato. (La precisione della macchina è di £$10^{-4}m$£, quindi al di sopra della precisione richiesta dalla misura della cornice).

Testo della domanda 1

Per ottenere la decorazione, occorre che le curve su due lati consecutivi si intersechino nel loro punto di massimo più vicino al vertice della cornice. Verifica che tale richiesta è soddisfatta per £$k=\dfrac{\pi}{2}$£. La decorazione presenta delle "foglie" (colorate in grigio in figura 2) in corrispondenza dei quattro vertici. L'artigiano vuole rivestire queste quattro regioni con una polvere ceramica. Determina l'area, espressa in £$dm^2$£, della superficie da ricoprire.

Figura 2

Testo della domanda 2

Volendo offrire ai clienti la possibilità di inserire nella cornice uno specchio di dimensioni maggiori, l'artigiano ne realizza un'altra con il lato delle stesse misure della precedente, ma con le quattro curve goniometriche che hanno in comune solo i vertici della cornice, così come in figura 3.

Figura 3

Verifica che per ottenere una decorazione di questo tipo occorre impostare nella macchina £$CNC$£ un valore di £$k$£ compreso tra £$0$£ e £$1$£ e che per £$k=1$£ due decorazioni consecutive sono tangenti nel vertice della cornice. Determina inoltre, in funzione di £$k\in[0,1]$£, l'area della parte di cornice compresa tra i lati e le quattro curve goniometriche, esprimendola in £$dm^2$£.

Testo della domanda 3

L'artigiano ha ovviamente l'esigenza di offrire la cornice a clienti che hanno specchi circolari di dimensioni diverse. Determina in funzione del parametro £$k$£ l'area dello specchio tangente alle quattro curve goniometriche e stabilisci quindi l'area minima e massima possibile dello specchio.

Testo della domanda 4

Un cliente, per cui è stata realizzata una cornice con £$k=1$£, chiede che la regione compresa tra lo specchio e le quattro curve venga dipinta con una vernice di cui l'artigiano possiede un flacone da £$125\,ml$£.

Dal momento che con £$1$£ litro di vernice è possibile coprire £$6\,m^2$£ di superficie, la quantità a disposizione è sufficiente per passare due mani di vernice? Per quale valore di £$k$£ la quantità di vernice richiesta è massima?

Leggiamolo insieme

Il problema, ambientato in un laboratorio artigiano in cui si deve realizzare uno specchio con cornice, propone alcune questioni riguardanti determinate curve goniometriche e certe aree da esse delimitate, per una delle quali è posto anche un problema di massimo. Si tratta in sostanza di un problema su argomenti di Analisi matematica, con calcoli semplici e applicazione elementare di regole di base; bisogna soltanto compiere lo sforzo di astrarre il problema dal contesto applicativo, cogliendone il significato matematico.

Che cosa ripassare

Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 1 della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2018: