Qui trovi il testo del problema 2 della seconda prova di matematica della sessione suppletiva 2018! Scopri come analizzare il testo e gli argomenti consigliati per ripassare prima di affrontare ogni punto del problema senza dubbi!
Ecco alcuni suggerimenti per affrontare al meglio il problema 2 della seconda prova di matematica:
Fissato un numero reale £$k>0$£, si definiscono le funzioni:
$$ f_k(x)=k\cdot \ln(x)\;\;\;\;\;\textrm{ e }\;\;\;\;\;g_k(x)=e^{\frac{x}{k}} $$
i cui grafici sono indicati, rispettivamente, con £$F_k$£ e £$G_k$£.
Verifica che, qualunque sia £$k>0$£, le due funzioni £$f_k$£ e £$g_k$£ sono fra loro inverse; definite inoltre le funzioni:
$$ a(x)=f_k(g_k(x))\;\;\;\;\;\textrm{ e }\;\;\;\;\;b(x)=g_k(f_k(x)) $$
stabilisci se si verifica £$a(x)=b(x), \forall x\in \mathbb R$£.
Indicata con £$r$£ la retta di equazione £$y=x$£, determina l'equazione della retta £$s_2$£, parallela a £$r$£ e tangente al grafico £$F_2$£ della funzione £$f_2(x)=2\ln(x)$£. Determina inoltre l'equazione della retta £$t_2$£, parallela a £$r$£ e tangente al grafico £$G_2$£ della funzione £$g_2(x)=e^{\frac{x}{2}}$£.
Rappresenta i grafici £$F_2$£ e £$G_2$£ insieme alle retta £$s_2$£ e £$t_2$£ e stabilisci qual è la distanza minima tra un punto di £$F_2$£ e un punto di £$G_2$£.
Verifica che l'equazione £$f_3(x)=g_3(x)$£ possiede due soluzioni sapendo che, qualunque sia £$k>0$£, gli eventuali punti d'intersezione tra il grafico £$F_k$£ e il grafico £$G_k$£ coincidono con i punti d'intersezione tra uno qualsiasi di tali grafici e la retta di equazione £$y=x$£. Stabilisci inoltre per quali valori £$k>0$£ i grafici £$F_k$£ e £$G_k$£ sono secanti, per quali valori sono disgiunti e per quale valore essi sono tangenti.
Sia £$A$£ la regione limitata compresa tra i grafici £$F_e$£ e £$G_e$£ e gli assi cartesiani.
Determina l'area di £$A$£ ed il volume del solido generato ruotando £$A$£ attorno a uno degli assi cartesiani.
Il problema riguarda prevalentemente argomenti di Analisi matematica, ad eccezione della prima domanda, di natura algebrica, a proposito di funzioni inverse e composizione di funzioni. Le questioni proposte sono numerose, non tutte di facile risoluzione, alcune piuttosto impegnative, quantunque i calcoli non siano mai eccessivamente complicati. Il problema è interessante, elegante, ma di livello piuttosto alto.
Qui trovi gli argomenti da ripassare per affrontare al meglio il problema 2 della seconda prova di matematica della sessione supplettiva 2018:
