Simulazione di Fisica - 12 gennaio 2017

Nel 1896 l’astronomo Edward Charles Pickering, analizzando lo spettro di emissione della stella Zeta Puppis, scoprì la presenza di alcune righe con lunghezza d’onda uguale a quella prevista dalla serie di Balmer e per questo da lui attribuite alla presenza di idrogeno nella stella. Scoprì inoltre la presenza di altre tre righe spettrali, chiamate righe di Pickering, di lunghezza d’onda £$\lambda$£ rispettivamente pari a

£$455,1 \ \text{nm}$£        £$541,1 \ \text{nm}$£       £$1012,3 \ \text{nm}$£

1. Utilizzando il modello atomico di Bohr, descrivi l’origine delle righe dello spettro dell’idrogeno e in analogia formula una possibile spiegazione della origine delle righe di Pickering presenti nello spettro della stella Zeta Puppis. Indica quali informazioni fisiche puoi ricavare dal loro valore numerico.

Pickering dedusse che i valori numerici delle lunghezze d’onda delle righe che portano il suo nome potevano essere ricavati dalla formula di Balmer,

£$\frac{1}{\lambda}=R_H \Big( \frac{1}{2^2}-\frac{1}{n^2} \Big) n=3,4 ...$£

valida per le righe spettrali dell’idrogeno, utilizzando, però, a differenza di queste, valori di £$n$£ seminteri.

2. Utilizzando i valori sperimentali dello spettro dell’idrogeno, riportati nella seguente tabella determina graficamente o analiticamente il valore sperimentale della costante £$R_H$£, nota come costante di Rydberg, e calcola poi i valori dei numeri £$n$£ seminteri a cui corrispondono le righe di Pickering, verificando così la correttezza della sua deduzione.

Le righe di Pickering possono essere ricavate anche da una formula dello stesso tipo di quella di Rydberg, utilizzando un valore diverso per il parametro £$R_H$£, che indichiamo con £$R'_H$£

£$\frac{1}{\lambda}=R'_H \Big( \frac{1}{n_1^2}-\frac{1}{n_2^2} \Big)$£

in cui gli indici £$n_1$£ e £$n_2$£ sono numeri interi con

£$n_1=1,2,3 ... ...$£       £$n_1=1,2,3 ... ...$£       £$n_2 > n_1$£

3. Dimostra che con £$n_1=4$£ e £$R'_H=4R_H$£ si possono determinare valori interi di che corrispondono a tutte le righe osservate, cioè sia alle righe di Pickering sia a quelle di Balmer dello spettro dell’idrogeno.

Successivamente fu mostrato che l’intero spettro della stella Zeta Puppis era dovuto alla presenza di ioni idrogenoidi (ioni con un solo elettrone esterno e nucleo formato da £$Z$£ protoni) e non all’idrogeno, e che a questi ioni si poteva applicare il modello atomico di Bohr.

Il modello di Bohr fornisce per la costante di Rydberg £$R_H$£ dell’atomo di idrogeno l’espressione:

£$R_H=\frac{m_ee^4}{8h^3\epsilon_0^2c}$£

4. Considerando le modifiche da introdurre nel modello di Bohr per uno ione idrogenoide, ricava l’espressione della costante £$R'_H$£. Confrontando inoltre il valore sperimentale £$R'_H$£ con il valore ricavato da tale relazione individua il valore di £$Z$£ e determina così lo ione la cui emissione dà origine allo spettro di Zeta Puppis.

Dimostra che per immagazzinare una quantità di energia £$U$£ in un solenoide ideale di volume £$V$£ nel vuoto, occorre generare al suo interno un campo magnetico £$B$£ di intensità pari a:

£$B=\sqrt{\frac{2\mu_0U}{V}}$£

dove £$\mu_0$£ è la permeabilità magnetica nel vuoto. Calcola l’intensità della corrente elettrica che deve scorrere in un solenoide composto da £$N=500$£ spire, di lunghezza £$L=5,0 \ \text{cm}$£ e volume £$V=20 \ \text{cm}^3$£ affinché l’energia in esso immagazzinata sia £$U=1,5 \ \text{mJ}$£.

Un solenoide £$L_1$£ ideale si trova all’interno di un secondo solenoide £$L_2$£, anch’esso ideale. Quest’ultimo viene alimentato con una corrente £$I$£ che cresce linearmente nel tempo nell’intervallo £$0-30 \mu\text{s}$£ secondo l’equazione:

£$I=kt$£

con £$k= 0,50 \ \text{A/s}$£. Ai capi del solenoide interno £$L_1$£, durante l’intervallo di tempo in cui la corrente varia, si misura una forza elettromotrice.

Spiega l’origine della forza elettromotrice e dimostra che essa risulta costante;

Calcola il valore del modulo di tale forza elettromotrice nel caso in cui i solenoidi £$L_1$£ e £$L_2$£ abbiano entrambi un numero di spire pari a 500, lunghezza pari a £$5,0 \ \text{cm}$£, sezione £$S_1=1,0 \ \text{cm}^2$£ e £$S_2=4,0 \ \text{cm}^2$£ rispettivamente.

Per eseguire analisi spettrometriche di alcune particolari sostanze si utilizzano laser ad argon, che emettono un fascio luminoso verde di lunghezza d’onda £$514,5 \ \text{nm}$£, potenza pari a £$1,0 \ \text{W}$£ e sezione di £$2,0 \ \text{mm}^2$£. Ipotizzando che il fascio sia cilindrico, determina:

• quanta energia è contenuta in un metro di lunghezza del fascio;
• il valore massimo del campo elettrico e di quello magnetico associati al fascio;
• quanti fotoni al secondo vengono emessi dal laser.

In una cella fotoelettrica viene generata una corrente di saturazione £$I=15 \mu\text{A}$£ sfruttando l’effetto fotoelettrico. Come catodo viene utilizzato un materiale metallico il cui lavoro di estrazione è di £$5,15 \ \text{eV}$£.

• Determina la lunghezza d’onda massima della radiazione incidente sul catodo capace di estrarre elettroni da esso;
• Calcola il numero minimo di fotoni che ogni secondo devono incidere sul catodo, nell’ipotesi che solo il 75% di essi riescano ad estrarre un elettrone.

L’astronave Millennium Falcon della Trilogia originale di Guerre Stellari ha una lunghezza a riposo pari a £$34,5 \ \text{m}$£ L’astronave, in viaggio con velocità £$0,90 c$£ rispetto a un sistema di riferimento inerziale, incrocia una seconda astronave identica che viaggia in direzione opposta con velocità £$0,75 c$£ rispetto allo stesso sistema di riferimento inerziale.

Qual è la lunghezza della seconda astronave misurata da un passeggero della prima astronave?

Dimostra che a un elettrone non relativistico, accelerato da fermo mediante una differenza di potenziale £$\Delta v$£ misurata in volt, si può associare un’onda di de Broglie la cui lunghezza d’onda £$\lambda$£ può essere spressa dalla formula:

£$\lambda=\sqrt{\frac{1,504}{\Delta V}} \ \text{nm}$£

Calcola tale lunghezza d'onda per £$\Delta V = 50,0 \ \text{V}$£