Simulazione di Fisica - 25 gennaio 2016

Nell'articolo Thomson scrive:

“Supponi che un fascio di queste particelle si muova parallelamente all'asse £$x$£, colpendo un piano fluorescente perpendicolare al loro cammino in un punto O. Se prima di raggiungere il piano agisce su di esse un campo elettrico parallelo all'asse £$y$£, il punto ove le particelle raggiungono il piano è spostato parallelamente all'asse £$y$£ di una distanza pari a: $$y=\frac{q A_1}{m v_0^2}$$ dove £$q$£, £$m$£ e £$v_0$£ sono rispettivamente la carica, la massa e la velocità delle particelle e £$A_1$£ è una costante dipendente dal campo elettrico e dal cammino della particella ma indipendente da £$q$£, £$m$£, £$v_0$£.

Se invece sulle particelle agisce un campo magnetico anch'esso parallelo all'asse £$y$£, le particelle vengono deflesse parallelamente all'asse £$z$£ e il punto ove le particelle raggiungono il piano è spostato parallelamente all'asse £$z$£ di una distanza pari a: $$z= \frac{q A_2} {mv_0}$$ dove £$A_2$£ è una costante dipendente dal campo magnetico e dal cammino della particella ma indipendente da £$q$£, £$m$£ e £$v_0$£''.

E più oltre continua: “Così, tutte le particelle con lo stesso rapporto £$\frac{q}{m}$£ in presenza di campo elettrico e magnetico colpiscono il piano su una parabola che può essere visualizzata facendo incidere le particelle su una lastra fotografica''.

E ancora: “Poiché la parabola corrispondente all'atomo di idrogeno è presente in praticamente tutte le foto ed è immediatamente riconoscibile [...] è molto facile trovare il valore di £$\frac{q}{m}$£ per tutte le altre''.

Un esempio di queste foto è riportato nella Figura 1:

che viene riportata, ingrandita e invertita in colore, nella Figura 2:

1. Fissando un sistema di riferimento con origine nel punto £$O$£ ove le particelle colpiscono il piano fluorescente in assenza del campo elettrico e di quello magnetico, l'asse £$x$£ nella direzione del moto delle particelle e l'asse £$y$£ nella direzione comune dei campi elettrico e magnetico, dimostra dalle informazioni date la validità delle formule riportate da Thomson per le deflessioni nelle direzioni £$y$£ e £$z$£ dovute al campo elettrico e al campo magnetico.
   Nella dimostrazione assumi che gli effetti di bordo siano trascurabili e che la forza di Lorentz sia sempre diretta nella direzione £$z$£.
2. Dimostra che le particelle con lo stesso rapporto £$\frac{q}{m}$£ formano sul piano £$x=0$£ una parabola quando è presente contemporaneamente sia il campo elettrico sia quello magnetico; determina l'equazione della parabola in funzione del rapporto £$\frac{q}{m}$£ e dei parametri £$A_1$£ e £$A_2$£.
3. Ricordando che gli ioni di idrogeno hanno il massimo rapporto £$\frac{q}{m}$£, individua la parabola dovuta agli ioni di idrogeno. Scegli poi un'altra parabola delle foto e determina il rapporto £$\frac{q}{m}$£ relativo a questa parabola, in unità dello stesso rapporto £$\frac{q}{m}$£ per l'idrogeno. Descrivi dettagliatamente il procedimento seguito.
4. Immagina ora di ruotare il campo elettrico in modo che sia diretto nella direzione £$z$£ e con verso tale da deflettere le particelle in verso opposto alla deflessione dovuta al campo magnetico. Disegna la direzione e verso del campo elettrico e di quello magnetico affinché essi operino come descritto e determina la condizione che deve essere verificata affinchè la deflessione totale sia nulla. Ipotizzando di utilizzare il dispositivo come strumento di misura, quale grandezza potrebbe misurare?

 £$qE=ma \rightarrow a=\frac{qE}{m} \rightarrow d_y=\frac{qE}{2m}t^2$£

Consideriamo ora l’azione del campo magnetico. Sappiamo che, su una carica in movimento con velocità £$\vec{v_0}$£ perpendicolare all’induzione magnetica £$\vec{B}$£, agisce la forza di Lorentz. Tale forza, in generale, ha una direzione variabile e ha le proprietà di una forza centripeta. Il testo del problema, tuttavia, dà indicazioni chiare sul fatto che la forza di Lorentz, in questo caso, è sempre diretta nella direzione £$z$£. È un’approssimazione e non è richiesto che lo studente ne dia una giustificazione.
Quindi, la componente della forza di Lorentz lungo la direzione £$z$£ è:

£$F=q \ v_0 \ B$£

Da cui, come abbiamo fatto per il campo in precedenza otteniamo:

£$q \ v_0 \ B=ma \rightarrow a=\frac{q \ v_0 \ B}{m} \rightarrow d_z=\frac{q \ v_0 \ B}{2m}t^2$£

Sappiamo che lungo x il moto è uniforme con velocità £$\vec{v_0}$£. Possiamo quindi dire che il tempo impiegato dalle particelle per uscire dalla regione in cui agiscono i campi, che è lunga £$R$£, è:

£$t=\frac{R}{v_0}$£

Da cui:

£$d_y=\frac{qE \ R^2}{2m \ v_0^2}$£       £$d_z=\frac{qB \ R^2}{2m \ v_0}$£

Se la lastra fotografica fosse posta alla fine della regione £$R$£, quella in cui agiscono i campi, avremmo il risultato dell’esperimento di Thomson considerando:

£$A_1=\frac{E \ R^2}{2}$£   e   £$A_2=\frac{B \ R^2}{2}$£

La figura data nel testo, invece, mostra la lastra fotografica all’estremità destra della regione in cui non agiscono il campo elettrico e il campo magnetico, come rappresentato in Figura 2.

All’uscita dalla regione R abbiamo che:

£$\begin{cases} v_x=v_0 \\ v_y=\frac{qE \ R}{m \ v_0} \\ v_z=\frac{qB \ R}{m} \end{cases}$£

Indichiamo con £$t’$£ il tempo necessario alle particelle per percorrere la distanza £$R’$£, ovvero la distanza tra la fine della regione in cui agiscono i campi e lo schermo fotografico. Abbiamo:

£$t’=\frac{R’}{v_0}$£

Da cui:

£$y=d_y+v_yt’=\frac{qE \ R^2}{2m \ v_0^2}+\frac{qE \ R}{m \ v_0}\frac{R’}{v_0}$£

Da cui segue la tesi:

£$y=\frac{q}{m \ v_0}A_1$£   con   £$A_1=\frac{E \ R^2}{2}+ERR’$£

Allo stesso modo abbiamo:

£$z=d_z+d_zt’=\frac{qB \ R^2}{2m \ v_0^2}+\frac{qB \ RR’}{m \ v_0}$£

Da cui segue la seconda tesi:

£$z=\frac{q}{m \ v_0}A_2$£   con   £$A_2=\frac{B \ R^2}{2}+BRR’$£

2. Quando le particelle entrano nella regione dove agiscono i campi, hanno tutte velocità che non conosciamo e diverse tra loro.
Prendiamo la relazione ottenuta al punto precedente, lungo la direzione £$z$£:

£$z=\frac{q}{m \ v_0}A_2 \rightarrow v_0=\frac{q}{m \ z}A_2$£

Sostituiamo ora £$v_0$£ nell’equazione per £$y$£:

£$y=\frac{q}{m \ v_0^2}A_1=\Big(\frac{m}{q}\frac{A_1}{A_2^2}\Big)z^2$£

Che è proprio l’equazione di una parabola.

3. Abbiamo già dimostrato che l’equazione è quella di una parabola semplice, dove il rapporto £$q/m$£ indica l’ampiezza della parabola stessa. Quindi, più grande è il rapporto £$q/m$£ più la parabola sarà ampia e schiacciata sull’asse magnetico £$z$£. Lo ione di idrogeno (H+) ha il massimo rapporto £$q/m$£ quindi è rappresentato dalla parabola più schiacciata sull’asse orizzontale, quasi invisibile nella fotografia inserita nel testo del problema. Per risolvere il quesito tracciamo una retta parallela all’asse £$y$£ sulla fotografia, come fatto nel seguente schema.

Affinché la deflessione sia nulla bisogna imporre che le forze si equilibrino quindi:

£$qE=q \ v_0 \ B$£

Da cui: £$v_0=\frac{E}{B}$£

Possiamo quindi usare lo strumento per misurare e selezionare le velocità delle particelle, misurando i campi elettrici e magnetici.

Nel laboratorio di Fisica, durante una lezione sul magnetismo, scorgi in un angolo un vecchio strumento che avevi utilizzato qualche anno fa per lo studio del moto uniformemente accelerato (Figura 1):

Una barretta metallica poggia su due blocchi £$A$£ e £$B$£ ancorati ad una guida ad £$U$£ anch’essa metallica; la guida si trova su un piano perpendicolare al pavimento con il quale è in contatto attraverso due piedini di materiale isolante. La barretta si trova ad un’altezza £$h$£ dal pavimento e, una volta eliminati i blocchi, scivola verso il basso lungo i binari della guida con attrito trascurabile.

Pensando a ciò che hai studiato recentemente ti viene in mente di utilizzare lo strumento per effettuare misure in campi magnetici. Immagini così di immergere completamente lo strumento in un campo magnetico uniforme perpendicolare al piano della guida.

In questa condizione:

1. Rappresenta ed esamina la nuova situazione descrivendo i fenomeni fisici coinvolti e le forze alle quali è sottoposta la barretta durante il suo moto verso il basso.
2. Individua quale tra i seguenti grafici rappresenta l’andamento nel tempo della velocità della barretta giustificando la scelta fatta.
   
   
3. Calcola il valore £$v_{max}$£ della velocità massima della barretta assumendo per essa una massa pari a £$30\,\, g$£, una lunghezza di £$40\,\, cm$£, una resistenza elettrica di £$2,0 \,\, \Omega$£ (supponi trascurabile la resistenza elettrica della guida ad £$U$£) ed un campo magnetico applicato di intensità £$2,5 \,\, T$£.
4. Determina l’equazione che descrive il moto della barretta e verifica che la funzione £$v(t) = v_{max}(1-e^{-\frac{t}{\tau}})$£, con £$\tau=\frac{v_{max}}{g}$£, ne è soluzione; definisci il significato dei simboli presenti nella funzione servendoti, eventualmente, di un grafico.

Per semplicità è stato disegnato il campo £$\vec{B}$£ una sola volta ma bisogna considerare l’intera struttura immersa nel campo magnetico.
Quando vengono eliminati i blocchi A e B la barra inizia a cadere verso il basso, soggetta alla forza peso, lungo l’asse x disegnato nella figura.

Man mano che la barra scende, aumenta l’area £$S$£ delimitata dalla barretta e dalla guida. Questa area, rappresentata in verde in Figura 6, può essere considerata come una spira. La variazione dell’area della spira provoca una variazione del flusso del campo magnetico che la attraversa.

Si ha quindi induzione elettromagnetica: la barretta diventa sede di una forza elettromotrice indotta che, per la legge di Lenz, ha il verso indicato in Figura 7.

Per la legge di Faraday-Neumann sappiamo che la £$f.e.m.$£ indotta £$f$£ è pari a:

£$f=\Big|-\frac{d\phi}{dt}\Big|$£

Il campo magnetico è uniforme e perpendicolare alla spira, quindi il flusso concatenato con la spira è dato da £$\phi=BS$£.
Sappiamo che la superficie della spira aumenta nel tempo man mano che la barretta scende, quindi:

£$f=\Big|-\frac{d\phi}{dt}\Big|=\Big|-\frac{d}{dt}BS\Big|=\frac{d}{dt}Bl \ x(t)=Bl\frac{dx}{dt}=BL \ v(t)$£

Questa £$f.e.m.$£ genera una corrente indotta che circola in senso antiorario lungo la spira e ha intensità direttamente proporzionale alla velocità della barra:

£$i_i=\frac{f}{R}=\frac{Bl \ v(t)}{R}$£

con R la resistenza del materiale di cui è composta la spira.

La barra, percorsa dalla corrente £$i_i$£ e immersa nel campo magnetico £$\vec{B}$£ risente anche di una forza magnetica £$\vec{F_M}$£:

£$\vec{F_M}=i\vec{l} \times \vec{B}$£

Per la regola della mano destra questa forza ha la stessa direzione della forza peso ma verso opposto. Inoltre, visto che £$\vec{l}$£ e £$\vec{B}$£ sono perpendicolari, il modulo della forza magnetica diventa:

£$F=il \ B=\frac{Bl \ v(t)}{R}lB=\frac{B^2l^2}{R}v(t)$£

Quindi possiamo dire che la forza magnetica è una forza che ostacola il moto della barretta, si comporta infatti come una forza di attrito viscoso, e ha un’intensità proporzionale alla velocità istantanea £$v(t)$£.

3. Come descritto al punto 2, la barra comincia a muoversi a velocità costante, e massima, quando la forza magnetica eguaglia la forza peso quindi:

£$mg=\frac{B^2l^2}{R}v_{max} \rightarrow v_{max}=\frac{mgR}{B^2l^2}$£

Sostituendo i valori numerici si ottiene:

£$v_{max}=\frac{(30 \cdot 10^{-3}\text{kg})(9,81 \ \text{m/s}^2)(2,00 \ \Omega)}{(2,5 \ \text{T})^2(40 \cdot 10^{-2}\text{m})^2}=0,5886 \ \text{m/s} \approx 59 \ \text{cm/s}$£

4. Dalla seconda legge della dinamica sappiamo che £$F = ma$£. Nel nostro caso la forza è quella risultante dall’azione della forza peso e di quella magnetica quindi:

£$F_p - F_m = m\frac{dv}{dt}$£

Al punto 1 abbiamo trovato la forza magnetica quindi:

£$mg-\frac{B^2l^2}{R}v(t)=m \ v'(t)$£

Al punto 3, invece, abbiamo trovato la velocità massima da cui:

£$v'(t)+\frac{g}{v_{max}}v(t)=g$£

Prendiamo ora l’equazione data nel testo del quesito e deriviamola:

£$v(t)=v_{max}\Big(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\Big) \rightarrow v'(t)=\frac{v_{max}}{\tau}e^{-\frac{t}{\tau}}$£

Dalla relazione per £$v(t)$£ otteniamo che:

£$v_{max}e^{-\frac{t}{\tau}}=v_{max}-v(t)$£

Quindi possiamo scrivere la derivata come:

£$v'(t)=\frac{1}{\tau}(v_{max}-v(t)) \rightarrow v'(t)+\frac{v(t)}{\tau}-\frac{v_{max}}{\tau}=0$£

Ricordando che £$\tau$£ cossrisponde a:

£$\tau=\frac{v_{max}}{g}$£

Otteniamo:

£$v'(t)+\frac{g}{v_{max}}v(t)-g=0$£

Che è proprio l'equazione trovata prima.

Consideriamo ora l’equazione £$v(t)=v_{max}\Big(1-e^{-\frac{t}{\tau}}\Big)$£.
Il grafico di questa equazione è proprio il grafico numero 3 del punto 3 del problema: £$\tau$£ rappresenta il tempo che la barretta impiegherebbe a raggiungere la velocità massima in assenza del campo magnetico £$B$£ ovvero mantenendo l’accelerazione iniziale £$g$£. In fisica £$\tau$£, che ha le dimensioni fisiche di un tempo, viene chiamata costante di tempo e viene usata, per esempio anche nei circuiti RC, per indicare che, trascorsi alcuni £$\tau$£, tutte le variazioni tendono ad annullarsi e le grandezze possono essere considerate uguali al valore asintotico.

Nel cristallo di sale £$ (\text{NaCl}) $£ gli ioni positivi e negativi £$\text{Na}^+$£ e £$\text{Cl}^-$£ si dispongono, alternandosi, ai vertici di celle cubiche, con una distanza tra due consecutivi ioni £$\text{Na}^+$£ (o £$\text{Cl}^-$£) pari ad £$\ell=0,567 \,\, nm$£.

£$E_1=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{x}$£

Ci sono poi 12 coppie di ioni con segno concorde separati dalla distanza £$\sqrt{2}x$£:

£$E_2=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{\sqrt{2}x}$£

Ci sono infine 4 coppie di ioni con carica di segno opposto separati dalla distanza £$\sqrt{3}x$£:

£$E_3=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{\sqrt{3}x}$£

Quindi:

£$E=E_1+E_2+E_3=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{x}\Big(-12+\frac{12}{\sqrt{2}}-\frac{4}{\sqrt{3}} \Big)$£

Quindi, sapendo che il numero £$N$£ di ioni della cella è 8, l’energia per ione è data da:

£$\frac{E}{N}=\frac{1}{4\pi\epsilon_0}\frac{q^2}{x}\frac{-5,864}{8}=3,70 \text{eV}$£

Questo valore è circa il 90 % del valore sperimentale dell’energia di legame.