Isometrie: simmetria assiale e centrale

L'isometria è una particolare similitudine in cui il rapporto tra segmenti corrispondenti è uno, cioè sono conservate le distanze. Esistono quattro tipi di isometrie. In questa lezione scopriamo la simmetria assiale e la simmetria centrale.

Fra le isometrie ci sono le traslazioni, le simmetrie assiali, le simmetrie centrali e le rotazioni. Quale è l'equazione di una traslazione, di una simmetria centrale, di una simmetria rispetto all'asse £$x$£ o all'asse £$y$£, o di una rotazione di £$90°$£ con centro nell'origine degli assi? Studia con noi tutte queste particolari trasformazioni!

Con i prossimi video lezione imparerai:

  • Simmetria assiale e centrale: cosa sono e quali sono le equazioni generali o particolari di alcune trasformazioni

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Prerequisiti per imparare le isometrie

I prerequisiti per imparare le isometrie sono:

Simmetrie assiali e simmetrie centrali

Consideriamo una retta £$r$£ del piano cartesiano e un punto £$P$£.
La simmetria assiale è l'isometria che associa ad ogni punto £$P$£ un punto £$P'$£, dalla parte opposta del piano rispetto alla retta £$r$£, in modo che:

  • £$PP'$£ sia perpendicolare a £$r$£;
  • la retta £$r$£ divida il segmento £$PP'$£ in due parti congruenti.

Per vedere le equazioni della simmetria assiale consideriamo tre esempi fondamentali (che sono anche i più usati!):

  1. Simmetria rispetto ad una retta parallela all'asse £$x$£: £$ S_{r:y=a}= \begin{cases} x'=x \\ y'=2a-y \end{cases}$£
  2. Simmetria rispetto ad una retta parallela all'asse £$y$£: £$ S_{r:x=b}= \begin{cases} x'=2b-x \\ y'=y \end{cases}$£
  3. Simmetria rispetto alle bisettrici dei quadranti:
    • Bisettrice I e III quadrante: £$ S_{r:y=x}= \begin{cases} x'=y \\ y'=x \end{cases}$£
    • Bisettrice II e IV quadrante: £$ S_{r:y=-x}= \begin{cases} x'=-y \\ y'=-x \end{cases}$£

La simmetria centrale è l'isometria che indica la trasformazione di ogni punto del piano rispetto ad un fissato punto £$C$£, detto centro della simmetria.
Vogliamo trovare il simmetrico del punto £$P(x;y)$£ rispetto alla simmetria centrale di centro £$C(a;b)$£.
Partiamo con questa costruzione geometrica:

  • prendiamo il punto £$P(x;y)$£;
  • tracciamo la retta che lo congiunge al punto £$C$£ e il suo prolungamento.

I segmenti £$PC$£ e £$P'C$£ devono essere congruenti: £$C$£ è il punto medio del segmento £$PP'$£.
Per £$P'$£ abbiamo allora:

£$ S_C= \begin{cases} x'=2a-x \\ y'=2b-y \end{cases}$£.

Un caso particolare di simmetria centrale è quella in cui il centro di simmetria è l'origine degli assi, cioè il punto £$ O(0;0)$£.

Cosa potrebbero chiederti nell'interrogazione

Cerca di rispondere in modo corretto alle domande dell'interrogazione sulle isometrie: potrebbero essere quelle di domani durante la lezione di matematica!

Continua poi ad allenarti con gli esercizi!

Sfida sulle isometrie

Se all'aAfrica applichi una simmetria rispetto all'equatore...come diventa? Inizia a scoprire che cosa sono le isometrie con la nostra sfida! Poi guarda i video così scoprirai tutte le isometrie: le traslazioni, le simmetrie centrali e assiali e le rotazioni.

Esercizi svolti Isometrie

Ecco gli esercizi su Isometrie in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Trasformazioni. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Relazioni e funzioni

Esercizi Isometrie - 1

Trova le giuste coordinate di un punto che è stato trasformato tramite un'isometria! Se hai qualche dubbio leggi bene la spiegazione ad ogni esercizio, così ripassi anche la teoria!

Esercizi Isometrie - 2

Sai applicare le diverse isometrie ad un punto nel piano? Mettiti alla prova con questo livello di esercizi (tutti svolti e spiegati).

Esercizi Isometrie - 3

Traslazioni, rotazioni e simmetrie centrali o assiali non hanno più segreti per te? Allora non avrai problemi a prendere il massimo in questo livello di esercizi!

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