Omotetia e composizione di due trasformazioni

L'omotetia è una trasformazione geometrica che permette di cambiare le dimensioni di una figura, conservando il parallelismo e le grandezze angolari. Per capirla dobbiamo prima capire cosa vuol dire fare il prodotto di un vettore per un numero reale. Impara a riconosce un'omotetia con centro nell'origine degli assi e la composizione di due trasformazioni.

Cos'è un'omotetia? Prima di studiare l'omotetia vediamo come calcolare il prodotto di un vettore per un numero. Vediamo poi l'omotetia come composizione di trasformazioni.

In questa lezione imparerai:

  • Prodotto di un vettore per un numero reale: cosa è e come si calcola
  • Omotetia con centro nell'origine degli assi: definizione, equazioni e particolarità della trasformazione
  • Composizione di due trasformazioni: come si compongono due trasformazioni e come scrivere la composizione

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Prerequisiti per imparare l'omotetia e la composizione di due trasformazioni

I prerequisiti per imparare l'omotetia e la composizione di due trasformazioni sono:

Come fare il prodotto di un vettore per un numero reale

Ti chiedi come calcolare il prodotto tra un vettore e un numero reale? Niente di più semplice!
Dato un vettore £$ \overrightarrow{v} $£ e un numero reale £$k\ne0$£ il prodotto è un vettore con:

  • Stessa direzione di £$\overrightarrow{v}$£;
  • Verso concorde a £$ \overrightarrow{v}$£ se £$k>0$£, discorde se £$k<0$£;
  • Modulo £$\left| \overrightarrow{w} \right| = \left|k \right| \left| \overrightarrow{v} \right|$£.

Dato £$\overrightarrow{v}$£ e £$k\ne0$£ risulta £$ \overrightarrow{w}(ka;kb)$£.

Che cos'è un'omotetia con centro nell'origine degli assi

Un'omotetia è una trasformazione geometrica che, dato un punto £$P(x;y)$£ e un numero £$k$£, associa a £$P$£ il punto £$P'(x';y') $£ con questa trasformazione:
£$ O_{O,k}=\begin{cases} x'=kx \\ y'=ky \end{cases}$£
in cui: £$\overline{OP'}=k\overline{OP}$£
Si parla di omotetia di centro £$O$£ (origine degli assi) e rapporto £$k$£.

Cosa succede se £$k=1$£?
La trasformazione diventa un'identità, cioè ad ogni punto associa se stesso.

Cosa succede se £$k=-1$£?
Diventa la simmetria centrale di centro £$O(0;0)$£.

L'omotetia è la trasformazione geometrica che permette di cambiare le dimensioni di una figura, conservando il parallelismo e le grandezze angolari.

Se £$ \left|k \right|>1 $£ l'omotetia ingrandisce la figura.
Se £$ \left|k \right|<1 $£ l'omotetia riduce la figura.

Se £$ k > 0 $£ l'omotetia si dice diretta: punti corrispondenti appartengono allo stesso quadrante.
Se £$ k < 0 $£ l'omotetia si dice inversa: punti corrispondenti appartengono a quadranti diversi.

Come fare la composizione tra due trasformazioni

Le trasformazioni che abbiamo visto possono essere anche fatte in successione, su una stessa figura di partenza.
La composizione di trasformazioni è l'applicazione di una o più trasformazioni sulla stessa figura.
Considera una certa figura £$F$£ e almeno due trasformazioni £$M$£ e £$N$£.
Ottieni £$F'$£ applicando prima £$M$£ e poi £$N$£: si scrive: £$ N \circ M $£
Il simbolo £$ \circ $£ indica la composizione e si legge "£$N$£ composto £$M$£".
Stai attento perchè l'ultima trasformazione che scrivi è la prima che applichi.

Cosa potrebbero chiederti nell'interrogazione

Alcune brevi domande di un'ipotetica interrogazione sulle omotetie e la composizione di trasformazioni! Ti senti sicuro? Allora sei pronto per fare gli esercizi!

Sfida sulle omotetie

Cosa succede all'America del Sud? Leggi la sfida e prova a risolverla! Se non sai che cos'è un'omotetia non preoccuparti: riguarda i video della lezione ed allenati con gli esercizi!

Esercizi svolti Omotetia e composizione di due trasformazioni

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Esercizi Omotetia e composizione di due trasformazioni - 1

Qualche esercizio di teoria sulla composizione di due trasformazioni e sulle omotetie! Leggi bene la spiegazione ad ogni esercizio per ripassare!

Esercizi Omotetia e composizione di due trasformazioni - 2

Sai fare la composizione di due trasformazioni? Sai cos'è un'omotetia? Mettiti alla prova con questi esercizi tutti svolti e spiegati!

Esercizi Omotetia e composizione di due trasformazioni - 3

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