Retta e iperbole

Scopri le possibili posizioni reciproche tra retta e iperbole, le rette tangenti a una iperbole e la formula di sdoppiamento.

2019-02-21 23:03:21

Lo studio delle posizioni reciproche tra una retta ed un'iperbole è molto simile a quello affrontato per le altre coniche. Risolvendo il sistema formato dalle due equazioni si capisce se iperbole e retta sono secanti, tangenti o esterne.
Per trovare l'equazione della retta tangente ad un'iperbole dato un punto, il procedimento cambia a seconda che il punto sia esterno, interno o appartenente all'iperbole. In generale basta mettere a sistema l'equazione dell'iperbole con quella della generica retta passante per il punto e poi analizzare il sistema risolvente. Se il punto appartiene all'iperbole ed è anche un punto di tangenza, allora la formula di sdoppiamento permette di trovare l'equazione della retta tangente. Imparare a trovare ed analizzare le posizioni reciproche fra retta e iperbole, così come fra retta e retta, retta ed ellisse, o parabola e circonferenza, sarà di grande aiuto per risolvere i problemi con le coniche.

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Prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di retta e iperbole

I prerequisiti per imparare le posizioni reciproche di retta e iperbole sono:

Posizione reciproca di una retta e un'iperbole

Consideriamo nel piano cartesiano una retta ed un'iperbole, mettendo a sistema le loro equazioni ottieni un'equazione risolvente. A seconda del delta dell'equazione risolvente riesci a determinare la posizione reciproca fra retta e iperbole.
Infatti, se l'equazione è di secondo grado puoi avere:

  • £$\Delta > 0$£: il sistema ha due soluzioni reali e distinte e quindi retta e iperbole sono secanti, cioè hanno due punti di intersezione;
  • £$\Delta=0$£: il sistema ha due soluzioni reali coincidenti, quindi c'è un solo punto di intersezione fra retta e iperbole, cioè le due curve sono tangenti;
  • £$\Delta < 0$£: il sistema non ha soluzioni reali, quindi retta e iperbole sono esterne, cioè non hanno punti di intersezione.

Se l'equazione risolvente è di primo grado invece, allora la retta è parallela ad un asintoto dell'iperbole e le due curve hanno un solo punto di intersezione.

Rette tangenti a un'iperbole

Abbiamo l'equazione di una iperbole, conosciamo le coordinate di un punto £$P(x_0;y_0)$£ e vogliamo trovare, se esistono, le rette tangenti all'iperbole che passano per il punto dato; come facciamo?
Il procedimento da seguire per trovare le rette tangenti ad una curva dato un punto esterno alla curva è:

  1. Scriviamo l'equazione del fascio di rette passanti per £$P$£: £$y-y_0=m(x-x_0)$£
  2. Mettiamo a sistema il fascio con l'equazione dell'iperbole
  3. Troviamo l'equazione risolvente (in funzione di £$m$£!)
  4. Imponiamo la condizione di tangenza £$ \Delta=0$£
  5. Risolviamo l'equazione di secondo grado con incognita £$m$£, possiamo trovare:
    • 2 soluzioni reali e distinte: ci sono due rette tangenti passanti per £$P$£ che, in questo caso, è esterno all'iperbole;
    • 2 soluzioni reali coincidenti: c'è una sola retta tangente per £$P$£, che appartiene all'iperbole;
    • nessuna soluzione: non ci sono rette tangenti passanti per £$P$£, che è esterno all'iperbole.

Formula di sdoppiamento dell'iperbole

Consideriamo un'iperbole ed un suo punto £$P$£. Con la formula di sdoppiamento troviamo l'equazione della retta tangente all'iperbole nel suo punto £$P$£ di cui conosciamo le coordinate.

Se l'equazione dell'iperbole è £$ \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm 1$£ e il punto ha coordinate £$P(x_0;y_0)$£, allora la retta tangente all'iperbole e passante per £$P$£ ha equazione £$\frac{x \cdot x_0}{a^2}-\frac{y \cdot y_0}{b^2}=\pm 1$£

Esercizi: rette tangenti a un'iperbole

Ora che hai visto come capire se una retta è tangente a un'iperbole, prova ad allenarti con gli esercizi!

In questo modo saprai sempre se una retta è tangente o no a un'iperbole.

Sfida

Come deve essere fatto il camion che trasporta l'half-pipe? C'entra qualcosa la condizione di tangenza tra rette e iperbole?

Scoprilo risolvendo la sfida!

Esercizi svolti Retta e iperbole

Ecco gli esercizi su Retta e iperbole in ordine di difficoltà crescente, completi di procedimento, spiegazione e soluzione. Ogni esercizio è in forma di domanda con 3 o 4 opzioni di risposta. Gli esercizi sono interattivi e danno feedback immediato. Ogni esercizio spiegato ti aiuta a studiare e ripassare velocemente per l'interrogazione ed il compito su Iperbole. Allenati con gli esercizi svolti di matematica, accumula punti e entra in classifica! Completa tutti i livelli di difficoltà dell'esercitazione per migliorare i tuoi voti in Aritmetica e Algebra

Esercizi Retta e iperbole - 1

Esercizi Retta e iperbole - 2

Esercizi Retta e iperbole - 3

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