Criterio dei minori e invertibilità

In questa lezione imparerai il criterio dei minori per calcolare il rango di una matrice. Scopri infine il legame tra il rango e l'invertibilità delle matrici.

Appunti

Ecco un altro modi per calcolare il rango di una matrice, basato sul cosiddetto criterio dei minori.

Scopri il concetto di invertibilità di una matrice e quali sono i suoi legami con il rango di una matrice.

Insomma, in queste lezioni si intrecciano molti dei concetti studiati finora, forse tutti: capirai ancora meglio perché sono importanti e scoprirai sorprendenti relazioni tra di loro. Non resta che rimboccarsi le maniche: buon lavoro!

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Prerequisiti per Criterio dei minori e invertibilità

I prerequisiti per criterio dei minori e invertibilità sono:

Che cos’è il criterio dei minori per calcolare il rango

Se una matrice £$A$£ di dimensione £$m \times n$£, con £$m \le n$£ ha rango non è pieno (cioè minore di £$m$£), le sue £$m$£ righe £$A_1, A_2, \dots, A_m$£ sono linearmente dipendenti. Ripercorrendo la dimostrazione vista nel post Perché il rango per righe è uguale al rango per colonne, sappiamo che esistono £$m$£ coefficienti £$k_1, k_2, \dots, k_m$£, non tutti nulli, tali che £$k_1A_1 + k_2A_2 + \dots + k_mA_m = 0$£.

Da questo segue che per ogni £$j = 1, 2, \dots, n$£ si ha £$k_1 a_{1j} + k_2 a_{2j} + \dots + k_m a_{mj} = 0$£.

Ognuna delle sottomatrici quadrate di ordine £$m$£ estraibili da £$A$£ sarà formata da tutte le £$m$£ righe di £$A$£ ma da sole £$m$£ delle sue £$n$£ colonne: possiamo applicare a queste colonne la relazione appena trovata, deducendo che le righe di ogni sottomatrice sono linearmente dipendenti. Quindi le sottomatrici hanno tutte determinante nullo. Se invece il rango di £$A$£ è pieno, è facile dimostrare che esiste almeno una sottomatrice quadrata £$A$£ di ordine £$m$£ le cui righe sono linearmente indipendenti, cioè il cui determinante non è nullo.

I determinanti delle sottomatrici estraibili da £$A$£ si dicono minori di £$A$£. L’ordine di un minore è l’ordine della sottomatrice corrispondente. Da tutto questo si ricava un procedimento per calcolare il rango di una matrice qualsiasi £$A$£ di dimensione £$m \times n$£, con £$m \le n$£:

  1. se esiste un minore diverso da zero di £$A$£, di ordine £$m$£, allora il rango di £$A$£ è pieno, cioè £$r = m$£;
  2. se invece tutti i minori di £$A$£ di ordine £$m$£ sono nulli, allora il rango di £$A$£ non è pieno, cioè £$r < m$£.

Nel caso 2. si deve verificare se esiste un minore di £$A$£ di ordine £$m-1$£ e diverso da zero: in caso affermativo il procedimento ha termine (e il rango di £$A$£ è £$m-1$£), altrimenti si passa ai minori di ordine £$m-2$£, e così via. In conclusione, il rango di una matrice qualsiasi £$A$£ è uguale all'ordine del più grande minore di £$A$£ non nullo.

Esempio: la matrice £$A = \left[\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \end{matrix}\right]$£, di dimensione £$2 \times 3$£ ha un minore di ordine £$m = 2$£ uguale a £$0 \cdot 3 – 2 \cdot 1 = 0 – 2 = -2 \ne 0$£, che è il determinante della sottomatrice £$\left[\begin{matrix} 0 & 2 \\ 1 & 3 \end{matrix}\right]$£, ottenibile rimuovendo la terza colonna. Quindi £$A$£ ha rango pieno, cioè rango uguale a £$m = 2$£.
La matrice £$B = \left[\begin{matrix} 1 & 2 & 1 \\ 2 & 4 & 2 \end{matrix}\right]$£, sempre di dimensione £$2 \times 3$£, non ha rango pieno, perché, come puoi facilmente verificare, tuti i suoi minori di ordine £$m = 2$£ sono nulli.

Qual è la relazione tra il rango e l’invertibilità delle matrici quadrate

Il metodo di eliminazione di Gauss, come hai visto, è connesso sia al calcolo del rango di una matrice, sia (per le matrici quadrate) al calcolo del determinante. Tra determinante e rango, comunque, esiste anche una relazione diretta. Una matrice quadrata di ordine £$n$£, infatti, ha determinante diverso da zero se e solo se ha rango pieno.

Per dimostrare questo teorema, dimostriamo dapprima che una matrice quadrata £$A$£ con determinante nullo non ha rango pieno. Applicando il metodo di eliminazione di Gauss, possiamo ridurre la matrice £$A$£ a una matrice a gradini, cioè, nel caso di matrici quadrate, una matrice triangolare superiore. Visto che le mosse di Gauss possono al massimo cambiare il segno del determinante di una matrice, se una matrice iniziale ha determinante nullo, anche la matrice triangolare superiore che si ottiene alla fine del metodo avrà determinante nullo, cioè avrà almeno una riga o una colonna nulla, quindi rango non pieno.

Dato che il metodo di eliminazione non modifica il rango della matrice, siamo certi che anche la matrice iniziale £$A$£ non ha rango pieno. Dato che le righe (e le colonne) di una matrice quadrata £$A$£ di rango non pieno sono linearmente dipendenti, abbiamo anche l’implicazione opposta. Abbiamo così provato che una matrice quadrata ha determinante nullo se e solo se ha rango non pieno. Quindi una matrice quadrata ha determinante diverso da zero se e solo se ha rango pieno.

Esempio: la matrice £$A = \left[\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{matrix}\right]$£ ha rango pieno. Il suo determinante è non nullo.
La matrice £$B = \left[\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 2 & 0 \\ 2 & 4 & 0 \end{matrix}\right]$£ non ha rango pieno, quindi ha determinante nullo.