Il determinante

Il concetto di determinante è molto importante nell’Algebra lineare, perché è strettamente legato a molti altri rami della matematica. Segui molto bene, quindi, questa lezione! Qui capirai cos’è il determinante di una matrice quadrata e imparerai a calcolarlo.

Appunti

Ora che sai cosa sono le matrici e come si eseguono le principali operazioni con le matrici, è il momento di alzare il sipario su un altro concetto centrale dell’Algebra Lineare: il determinante delle matrici quadrate.

In questa lezione vedrai prima di tutto perché abbiamo bisogno di un concetto come quello del determinante di una matrice quadrata. Quindi apprenderai una definizione formale di determinante. Solo a questo punto scoprirai come sia possibile calcolare nella pratica un determinante: lo vedrai prima con matrici piccole (di ordine 2), e poi imparerai a farlo per matrici di ordine qualsiasi.

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Prerequisiti per Il determinante

I prerequisiti per imparare a calcolare il determinante di una matrice sono:

Che cos'è il determinante di una matrice quadrata

Detto £$M = \mathbb{R}^{n \times n}$£ lo spazio vettoriale delle matrici quadrate di ordine £$n$£ , si definisce determinante la funzione che mappa elementi di £$M$£ su elementi di £$\mathbb{R}$£, con le seguenti proprietà:

  • £$det(I) = 1$£;
  • data una matrice £$A$£ di £$M$£:
    • se £$B$£ è ottenuta da £$A$£ scambiando tra loro due righe o due colonne, allora £$det(B) = -det(A)$£;
    • se £$B$£ è ottenuta da £$A$£ moltiplicando una riga o una colonna per un numero reale £$k$£, allora £$det(B) = k \times det(A)$£;
    • se £$B$£ è ottenuta da £$A$£ sommando una riga o una colonna a un’altra, allora £$det(B) = det(A)$£.

Si può dimostrare che esiste una sola funzione con queste proprietà. Il determinante, così definito, gode della seguente proprietà: date due matrici quadrate £$A$£ e £$B$£, il determinante del prodotto £$AB$£ è uguale al prodotto dei rispettivi determinanti £$det(A) \cdot det(B)$£. L’utilità del determinante, e la sua stessa introduzione, è in gran parte legata a quest’ultima proprietà.

Ricorda sempre, per evitare errori imbarazzanti, un fatto importante: il determinante si può calcolare sempre e soltanto se la matrice è quadrata, cioè non esiste il determinante di una matrice non quadrata!

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Come si calcola il determinante di matrici di ordine 2

Per calcolare il determinante di una matrice non si usa direttamente la sua definizione, ma algoritmi come quelli descritti di seguito, che, come è possibile dimostrare, sono in accordo con la definizione stessa.

Data la generica matrice di ordine 2, £$A = \left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}\right]$£, il determinante è uguale alla differenza tra il prodotto dei due elementi sulla diagonale principale e il prodotto dei due elementi sull’antidiagonale: £$det(A) = a_{11} \cdot a_{22} - a_{12} \cdot a_{21}$£.

Esempio: la matrice identità di ordine 2, cioè £$I_2 = \left[\begin{matrix}1 & 0 \\ 0 & 1 \end{matrix}\right]$£ ha determinante £$1$£, come previsto dalla definizione, perché £$1 \cdot 1 – o \cdot 0 = 1 – 0 = 1$£.

Esempio: la matrice £$A = \left[\begin{matrix}2 & 3 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right]$£ ha determinante £$det(A) = 2 \cdot (-1) - 3 \cdot 1 = -2 - 3 = -5$£.

Se si calcola il determinante di una qualsiasi matrice di ordine 2, la si sottopone a una qualsiasi delle operazioni citate nella definizione (scambio reciproco tra due righe o colonne, moltiplicazione di una riga o di una colonna per un numero, somma di una riga o di una colonna a un’altra) e si calcola nuovamente il determinante, si può verificare che il determinante calcolato mediante l’algoritmo descritto soddisfa le proprietà della definizione data.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.

Come si calcola il determinante di matrici più grandi

Per calcolare il determinante di matrici di ordine £$n$£ qualsiasi, si può utilizzare il seguente algoritmo, anch’esso in accordo con la definizione di determinante.

Data la generica matrice di ordine £$n$£, £$A = \left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right]$£, si eseguono i seguenti passi:

  1. scegli una riga della matrice, ad esempio la riga i-esima (oppure una colonna della matrice, ad esempio la colonna j-esima);
  2. considerando £$j = 1, 2, …, n$£ (oppure £$i = 1, 2, …, n$£), calcolare, per ogni elemento £$a_{ij}$£ della riga (o colonna) scelta, il suo complemento algebrico, o cofattore, £$c_{ij}$£, dato dal prodotto tra £$(-1)^{i + j}$£ e il determinante della matrice che si ottiene da £$A$£ rimuovendo la i-esima riga e la j-esima colonna;
  3. sempre per ogni elemento £$a_{ij}$£ della matrice, moltiplicare il suo complemento algebrico appena calcolato per l’elemento stesso, cioè calcolare il prodotto £$a_{ij} \cdot c_{ij}$£;
  4. sommare tra di loro tutti i prodotti ottenuti al punto 3.

In forma più compatta, scelto un valore £$i$£ (oppure £$j$£) compreso tra £$1$£ e £$n$£, si tratta di calcolare la sommatoria £$\sum_{j=1}^n a_{ij} \cdot c_{ij}$£ (oppure £$\sum_{i=1}^n a_{ij} \cdot c_{ij}$£), con £$c_{ij} = (-1)^{i + j} \cdot M_{i,j}$£, dove £$M_{i,j}$£ è la matrice che si ottiene da £$A$£ rimuovendo la i-esima riga e la j-esima colonna. Il procedimento è indipendente dalla scelta iniziale della riga i-esima (o della colonna j-esima).

Esempio: data la matrice £$A = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix}\right]$£, si può scegliere la prima riga e calcolare il determinante come segue: £$det(A) = 2 \cdot det \left( \left[\begin{matrix}1 & 1 \\ 2 & -1 \end{matrix}\right] \right) + 0 \cdot det \left( \left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & -1 \end{matrix}\right] \right) + 3 \cdot det \left( \left[\begin{matrix}0 & 1 \\ 1 & 2 \end{matrix}\right] \right) = 2(-1-2) + 0(0-1) + 3(0-1) = -6-3 = -9$£.

Più in generale, l’algoritmo descritto permette di esprimere il determinante di una matrice di ordine £$n$£ in funzione di £$n$£ determinanti di matrici di ordine £$n-1$£, ciascuno dei quali, a sua volta, può essere espresso in funzione di £$n-1$£ determinanti di matrici di ordine £$n-2$£, e così via, fino ad arrivare al caso £$n=2$£, per il quale possiamo calcolare i determinanti in modo immediato.

Trovi gli esercizi su questi argomenti nella lezione successiva.