Introduzione alle matrici

Le matrici sono uno dei concetti fondamentali dell’algebra lineare, ed è quindi importante capire bene cosa siano e a cosa servono! In questa lezione capirai cos’è una matrice.

Appunti

Dopo aver studiato i vettori nelle loro diverse sfaccettature, è tempo di scoprire l’altro concetto chiave dell’Algebra Lineare: le matrici.

In questa lezione scoprirai innanzitutto che cos'è veramente una matrice e quali siano i suoi elementi costitutivi. Imparerai quindi a riconoscere, in una matrice, le righe, le colonne e le diagonali.

Accedi per sempre a tutte le lezioni FREE con video ed esercizi spiegati!

Prerequisiti per Introduzione alle matrici

I prerequisiti per capire cosa sono le matrici sono:

A che cosa serve una matrice

Come sai, in fisica, ma in generale anche in altri ambiti, ci sono delle grandezze che non possono essere descritte come semplici numeri, in quanto possiedono anche una direzione e un verso. Un vettore è proprio un oggetto matematico caratterizzato da un numero (il modulo), una direzione e un verso. 

Studiando i vettori, hai scoperto che un vettore può essere scomposto in componenti rispetto a una base: in questo modo il vettore può essere espresso come un insieme di componenti numeriche.

Nelle scienze sperimentali e in molti altri ambiti, un vettore è quindi lo strumento ideale da usare ogni volta che una grandezza può essere descritta non come un singolo numero, ma come sequenza di più numeri. 

Ci sono molti casi, però, in cui non basta indicare alcuni numeri in sequenza, cioè un "record" o una "riga" di valori numerici, ma è invece necessario ricorrere a una specie di "tabella" formata da righe e da colonne.

Pensa a un foglio elettronico: quante cose puoi rappresentare con le sue caselle? Una matrice è molto simile alla griglia di un foglio elettronico. In un certo senso può essere vista come un insieme di più vettori (ogni riga ma anche ogni colonna può essere infatti considerata come un vettore).

In tutti gli ambiti scientifici ci sono fenomeni e grandezze che possono essere descritti soltanto come matrici. La matematica delle matrici, che imparerai a padroneggiare, è quindi uno strumento potentissimo applicabile a innumerevoli settori della conoscenza.

Tra i moltissimi che si potrebbero fare, un esempio di applicazione proviene dalla computer grafica, cioè la creazione di immagini e filmati per mezzo del computer: puoi infatti usare una matrice 4x4 (quindi 16 numeri disposti in righe e colonne) per descrivere il modo in cui un oggetto visualizzato sullo schermo deve muoversi. Questa matrice di trasformazione dell'oggetto racchiude nei suoi 16 elementi tutte le informazioni relative alla rotazione, alla traslazione, alla scalatura e alla visione prospettica dell'oggetto. Se moltiplichi questa matrice per un vettore che rappresenta la posizione iniziale dell'oggetto sullo schermo (tranquillo, imparerai presto come eseguire moltiplicazioni di questo tipo), otterrai la nuova posizione dell'oggetto.

Le matrici sono inoltre molto usate, ad esempio, nell'intelligenza artificiale, perchè semplificano molto le operazioni che devono essere eseguite per rendere "intelligenti" le macchine.

Scoprirai infine che le matrici sono molto utili anche per gestire al meglio alcuni concetti matematici che già conosci, come i sistemi lineari.

Che cos’è una matrice

Una matrice può essere definita come una tabella ordinata di elementi. Una matrice è quindi formata da righe e da colonne.

Esempio: £$ A = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ -1 & 1 & 0\end{matrix}\right]$£

L’aggettivo “ordinata” si riferisce al fatto che è rilevante l’ordinamento degli elementi sulle righe e sulle colonne. Gli elementi di una matrice possono essere numerici o no. Detti £$m$£ il numero delle righe e £$n$£ il numero di colonne di una matrice £$A$£, si dice che £$A$£ ha dimensione £$m \times n$£. Se una matrice £$A$£ di dimensione £$m \times n$£ è formata da numeri reali, si scrive £$A \in \mathbb{R}^{m,n}$£. Ogni elemento viene indicato con la scrittura £$a_{ij}$£, dove £$1 \le i \le m$£ individua la riga di appartenenza e £$1 \le j\le n$£ individua la colonna di appartenenza.

Trovi gli esercizi su questi argomenti in questa lezione.

Cosa sono le diagonali di una matrice

Consideriamo una matrice quadrata £$A$£ di ordine £$n$£. Diciamo diagonale principale la sequenza degli elementi che si trovano sulla linea che va dall’angolo in alto a sinistra all’angolo in basso a destra, cioè la sequenza degli elementi del tipo £$a_{ii}$£, con £$i = 1...n$£.

Esempio: la diagonale della matrice £$\left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ -1 & 1 & 0 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right]$£ è formata dagli elementi £$ 3, 1 $£ e £$ -3 $£.

Si dice invece antidiagonale, oppure diagonale secondaria, la sequenza di elementi che si trovano sulla linea che va dall’angolo in alto a destra all’angolo in basso a sinistra, cioè la sequenza degli elementi del tipo £$a_{ij}$£, con £$i + j = n + 1$£.

Esempio: considerando la stessa matrice di prima, gli elementi dell'antidiagonale sono £$ 2, 1 $£ e £$ 4 $£.

Se invece £$A$£ è una matrice rettangolare (non quadrata) di dimensione £$m \times n$£, con £$m > n$£, si dice diagonale principale la sequenza degli elementi del tipo £$a_{ii}$£, con £$i = 1...n$£, mentre si dice antidiagonale o diagonale secondaria la sequenza degli elementi del tipo £$a_{ij}$£, con £$i + j = n + 1$£.

Esempio: la diagonale di questa matrice rettangolare £$\left[\begin{matrix}d_1 & 3 & -2 \\ 4 & d_2 & -1 \\ 8 & -7 & d_3 \\ 6 & 5 & 4 \end{matrix}\right]$£ e formata dagli elementi £$ d_1, d_2 $£ e £$ d_3 $£.

Una matrice che ha elementi tutti nulli tranne quelli sulla diagonale principale si dice matrice diagonale. Se, inoltre, gli elementi della diagonale principale sono tutti uguali a £$1$£, la matrice viene detta matrice identità. Limitandoci al caso delle matrici quadrate, una matrice identità £$A$£ di ordine £$n$£ è quindi una matrice in cui £$a_{ij} = \begin{cases} 0 \text{ se } \ i \ne j \\ 1 \text{ se } \ i = j \end{cases} $£.

Esempio: una matrice identità £$ 3 \times 3 $£ è fatta così £$\left[\begin{matrix}1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{matrix}\right]$£

Trovi gli esercizi su questi argomenti in questa lezione.