La matrice inversa e le proprietà del determinante

Hai capito come funziona il determinante? Scopri qual è il suo legame con le matrici inverse. Impara subito tutte le proprietà del determinante di una matrice.

Appunti

Finalmente hai imparato a calcolare il determinante di una matrice.

Ora farai la conoscenza di un’altra nozione molto importante: quella di matrice inversa. Naturalmente imparerai a calcolare le matrici inverse, e capirai cosa lega l’inversione di una matrice con il determinante. Buon divertimento!

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Prerequisiti per Matrice inversa e proprietà del determinante

I prerequisiti per matrice inversa e proprietà del determinante sono:

Come si inverte una matrice

Data una matrice £$A$£, ci prefiggiamo di determinare una matrice inversa: la indicheremo con £$A^{-1}$£, tale per cui i prodotti £$AA^{-1}$£ e £$A^{-1}A$£ sono entrambi uguali alla matrice identità £$I$£.

Innanzitutto, se una tale matrice esiste (cioè se £$A$£ è invertibile), essa è unica. Infatti, supponiamo che la matrice quadrata £$A$£ abbia due inverse, che chiamiamo £$B$£ e £$C$£. Quindi £$CA = I$£ e £$AB = I$£, e si ha £$B = IB = (CA)B = C(AB) = CI = C$£, dove abbiamo utilizzato, tra l’altro, la proprietà associativa della moltiplicazione tra matrici.

Inoltre, condizioni necessarie affinché una matrice sia invertibile sono che essa sia una matrice quadrata e che abbia determinante diverso da zero.

Infatti, supponiamo che £$A$£ non sia quadrata, ma di dimensione £$m \cdot n$£, con £$m \ne n$£. Allora, la matrice £$AA^{-1}$£, dovendo essere una matrice identità, dovrebbe essere di ordine £$m$£: quindi la matrice £$A^{-1}$£ sarebbe di dimensione £$n \cdot m$£. Anche £$A^{-1}A$£ dovrebbe essere uguale a una matrice identità, ma di ordine £$n$£: ma questo è impossibile se £$A^{-1}$£ è di dimensione £$n \cdot m$£.

Supponiamo ora che una matrice £$A$£ di ordine £$n$£ sia invertibile. Allora esiste una matrice inversa tale che £$AA^{-1} = I_n$£, quindi si ha £$det(AA^{-1}) = det(I_n) = 1$£, da cui, ricordando la proprietà del determinante del prodotto di due matrici, si trova che il determinante della matrice inversa £$A^{-1}$£ è uguale all’inverso del determinante della matrice £$A$£. Da ciò discende che il determinante di £$A$£ deve essere diverso da zero.

La suddette condizioni necessarie sono anche sufficienti per l’invertibilità. Si può dimostrare che, data la matrice quadrata con determinante non nullo £$A = \left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right]$£, la sua inversa è sempre determinabile come £$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} \left[\begin{matrix}c_{11} & c_{12} & \dots & c_{1n} \\ c_{21} & c_{22} & \dots & c_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ c_{n1} & c_{n2} & \dots & c_{nn} \end{matrix}\right]^T$£, dove £$c_{ij}$£ è il complemento algebrico (o cofattore) dell’elemento £$a_{ij}$£, con £$i$£ e £$j$£ compresi tra £$1$£ e £$n$£. Quindi la matrice inversa £$A^{-1}$£ esiste, ed è unica, se e solo se il determinante di £$A$£ è diverso da zero.

Esempio: data la matrice £$A = \left[\begin{matrix}2 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & 1 \\ 1 & 2 & -1 \end{matrix}\right]$£, il suo determinante è uguale a £$-9$£, quindi la matrice è invertibile. La matrice £$C$£ formata dai complementi algebrici di £$A$£ è data da £$C = \left[\begin{matrix}-3 & 1 & -1 \\ 6 & -5 & -4 \\ -3 & -2 & 2 \end{matrix}\right]$£. Quindi £$A^{-1} = \frac{1}{det(A)} C^T = -\frac{1}{9} C^T = -\frac{1}{9} \left[\begin{matrix}-3 & 6 & -3 \\ 1 & -5 & -2 \\ -1 & -4 & 2 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} \frac{1}{3} & -\frac{2}{3} & \frac{1}{3} \\ -\frac{1}{9} & \frac{5}{9} & \frac{2}{9} \\ \frac{1}{9} & \frac{4}{9} & -\frac{2}{9} \end{matrix}\right]$£.

Quali sono le proprietà del determinante

Elenchiamo alcune proprietà del determinante:

  1. teorema di Binet: il determinante del prodotto di due matrici è uguale al prodotto dei determinanti delle due matrici: £$det(AB) = det(A) \cdot det(B)$£;
  2. il determinante della matrice inversa è uguale all’inverso del determinante della matrice iniziale: £$det(A^{-1}) = \frac{1}{det(A)}$£;
  3. il determinante della matrice trasposta è uguale al determinante della matrice iniziale: £$det(A^{T}) = det(A)$£;
  4. una matrice ha determinante uguale a zero se e solo se: ha una riga (o una colonna) formata da soli zeri; oppure ha due righe (o due colonne) proporzionali, cioè, se considerate come vettori, linearmente dipendenti tra di loro; oppure ha una riga (o una colonna) che è combinazione lineare di altre due o più righe (o colonne);
  5. una matrice quadrata triangolare superiore (o inferiore) ha il determinante uguale al prodotto degli elementi sulla diagonale principale;
  6. il determinante del prodotto tra uno scalare e una matrice quadrata di ordine £$n$£ è uguale allo scalare elevato a £$n$£ per il determinante della matrice iniziale: £$det(\lambda A) = \lambda^n \cdot det(A)$£.