Metodo di eliminazione di Gauss

Scopri le mosse di Gauss e il metodo di eliminazione di Gauss: sono strumenti utili per modificare la forma di una matrice e individuare più velocemente qual è il suo rango.

Appunti

Ecco un modo per calcolare il rango di una matrice: è basato su un algoritmo molto famoso e centrale in Algebra lineare, l’algoritmo di eliminazione di Gauss.

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Prerequisiti per Metodo i eliminazione di Gauss

I prerequisiti per utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss sono:

Cosa sono le mosse di Gauss

La definizione di determinante di una matrice, come sai, non non è operativa, cioè non fornisce direttamente un procedimento per calcolare il determinante di una qualsiasi matrice quadrata £$A$£, ma offre uno spunto per un metodo alternativo, in generale più semplice di quello che hai già imparato, per calcolare il determinante di una qualsiasi matrice quadrata £$A$£. In questa definizione si fa riferimento a particolari tipi di operazioni che si possono eseguire su una matrice. Una di queste, cioè la somma di una riga (o di una colonna) a un’altra, viene ora generalizzata trasformandola nella seguente operazione articolata (per semplicità si fa riferimento alle righe, ma il ragionamento vale analogamente sulle colonne):

  • si esegue un’operazione di tipo b), cioè si moltiplica la riga £$R_1$£ per un numero reale £$a$£ (il determinante si moltiplica anch’esso per £$a$£);
  • si somma la riga moltiplicata £$aR_1$£ alla riga £$R_2$£ (trattandosi di un’operazione di tipo c), il determinante non varia);
  • si riporta la riga £$R_1$£ ai suoi valori iniziali, cioè si divide la riga per £$a$£ (ancora un’operazione di tipo b), quindi il determinante si divide anch’esso per £$a$£, tornando così al valore originario).

L’operazione consiste ora nel sommare ad una riga (o ad una colonna) un’altra riga (o colonna) moltiplicata per un numero reale qualsiasi. Se il numero reale viene scelto negativo, l’effetto consiste nel sottrarre ad una riga (o colonna) un’altra riga (o colonna) moltiplicata per un numero reale (positivo).

Possiamo riformulare quindi i tre tipi di operazioni (dette mosse di Gauss):

a) scambiare tra di loro due righe (o due colonne) - il determinante cambia segno;

b) moltiplicare per un numero reale diverso da zero una riga (o una colonna) - il determinante si moltiplica per quello stesso numero;

c) sommare ad una riga (o ad una colonna) il multiplo di un’altra riga (o colonna) - il determinante resta invariato.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Cos’è il metodo di eliminazione di Gauss

Il metodo di eliminazione di Gauss utilizza le mosse di Gauss (che hai imparato nel post precedente), in particolare la prima e l’ultima, per ridurre una matrice qualsiasi in una forma a “gradini”, in cui il primo elemento diverso da zero di una riga è più a destra del primo elemento diverso da zero della riga precedente.

Il metodo si articola in tre fasi:

  1. Se la prima riga ha il primo elemento nullo, scambiarla con una riga che ha il primo elemento non nullo (mossa di tipo a) £$\rightarrow $£ il determinante cambia segno. Se tutte le righe hanno il primo elemento nullo, andare alla fase 3.
  2. Per ogni riga £$A_i$£ tale che £$A_{i,1} \ne 0$£ e £$i \ne 1$£, scegliere un coefficiente £$a$£ in modo tale che £$a \cdot A_{1,1} + A_{i,1} = 0$£, e sostituire la riga £$A_i$£ con la somma così determinata (mossa di tipo c) £$\rightarrow $£ il determinante non cambia.
  3. Sulla prima colonna tutte le cifre, eccetto forse la prima, sono ora nulle. Considerando la sottomatrice ottenuta eliminando la prima riga e la prima colonna, ritornare alla fase 1.

Esempio: prendiamo la matrice £$A = \left[\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{matrix}\right]$£. Dato che il primo elemento della prima riga è nullo, scambiamo la prima con la seconda riga e ci appuntiamo che il determinante ha cambiato segno: £$\left[\begin{matrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{matrix}\right]$£

A parte la prima riga, l’unica altra riga che ha il primo elemento non nullo è la terza: scegliamo £$a = -2$£ e sottraiamo alla terza riga il doppio della prima riga, in modo da annullare il primo elemento della terza riga (questa operazione non modifica il determinante): £$\left[\begin{matrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & -6 & 0 \end{matrix}\right]$£ Consideriamo la sottomatrice ottenuta eliminando la prima riga e la prima colonna: £$\left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ -6 & 0 \end{matrix}\right]$£

La prima e la seconda riga della sottomatrice hanno entrambe il primo elemento non nullo: scegliamo £$a = 3$£ e sommiamo alla seconda riga il triplo della prima riga, in modo da annullare il primo elemento della seconda riga (anche questa operazione non modifica il determinante): £$\left[\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{matrix}\right]$£

Considerando la matrice intera ricavata finora si ha: £$\left[\begin{matrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}\right]$£

Il determinante di questa matrice è uguale a 6 (la terza riga ha infatti come unico elemento non nullo il terzo, che è uguale a 3; il determinante della sottomatrice che si ottiene eliminando la terza riga e la terza colonna è pari a 2; moltiplicando 3 per 2 si ottiene 6). Poiché ci eravamo appuntati un unico cambio di segno nel corso dell’applicazione del metodo, il determinante della matrice iniziale è £$-6$£.

Puoi utilizzare il metodo di eliminazione di Gauss anche per calcolare il rango di una matrice. Le mosse di Gauss non variano il rango della matrice, perché questo è il numero massimo di righe linearmente indipendenti. Inoltre è facile (e utile come esercizio!) dimostrare che il rango della matrice a scalini che si ottiene alla fine del procedimento è uguale al numero delle sue righe (o colonne) non completamente nulle. Quindi, per calcolare il rango di una matrice, basta applicare il metodo di eliminazione di Gauss e alla fine contare le righe non nulle!

Esempio: la matrice dell’esempio precedente, £$A = \left[\begin{matrix} 0 & 2 & 1 \\ 1 & 3 & 1 \\ 2 & 0 & 2 \end{matrix}\right]$£, una volta sottoposta al metodo di eliminazione di Gauss diventa £$\left[\begin{matrix} 1 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 3 \end{matrix}\right]$£, che ha tutte e tre le righe non nulle. Quindi la matrice iniziale £$A$£ ha rango £$3$£.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.