Moltiplicazione di una matrice per uno scalare

Scopri come calcolare la moltiplicazione tra uno scalare e una matrice. Impara subito le proprietà per imparare a velocizzare i calcoli con le matrici.

Appunti

Le stesse operazioni che abbiamo imparato a eseguire con i vettori le possiamo eseguire anche con le matrici! Infatti una matrice di una sola riga viene chiamata matrice riga, mentre una matrice di una sola colonna viene chiamata matrice colonna. Il concetto di matrice, infatti, può essere considerato come una generalizzazione del concetto di vettore.

In questa lezione imparerai quindi a moltiplicare una matrice per uno scalare.

Tutte queste operazioni sono fondamentali non soltanto nell’algebra lineare, ma anche in altri rami della matematica, nella fisica, nell’ingegneria, nelle scienze in genere.

In questa lezione vedrai anche quali sono le proprietà principali di questa operazione.

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Come si esegue la moltiplicazione di una matrice per uno scalare

Data una matrice di dimensione £$m \times n$£

£$A = \left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right]$£ e uno scalare £$\lambda$£, la matrice prodotto tra i due è definita da £$\lambda \cdot A = \left[\begin{matrix}\lambda \cdot a_{11} & \lambda \cdot a_{12} & \dots & \lambda \cdot a_{1n} \\ \lambda \cdot a_{21} & \lambda \cdot a_{22} & \dots & \lambda \cdot a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ \lambda \cdot a_{m1} & \lambda \cdot a_{m2} & \dots & \lambda \cdot a_{mn} \end{matrix}\right]$£

 

Esempio: data la matrice £$A = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right]$£ e dato lo scalare £$\lambda = -2$£ si ha £$\lambda \cdot A = \left[\begin{matrix}-2 \cdot 3 & -2 \cdot 7 & -2 \cdot 2 \\ -2 \cdot 4 & -2 \cdot (-2) & -2 \cdot (-3) \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}-6 & -14 & -4 \\ -8 & 4 & 6 \end{matrix}\right]$£

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.

Quali sono le proprietà della moltiplicazione di una matrice per uno scalare

La moltiplicazione di una matrice per uno scalare soddisfa le seguenti proprietà.

  1. Proprietà distributiva rispetto all’addizione tra matrici: date due matrici £$A$£ e £$B$£, di dimensione uguale, e dato lo scalare £$\lambda$£, si ha £$\lambda \cdot (A + B) = \lambda \cdot A + \lambda \cdot B$£.
  2. Proprietà distributiva rispetto all’addizione tra scalari: data una matrice £$A$£, e dati i due scalari £$\lambda$£ e £$\mu$£, si ha £$(\lambda + \mu) \cdot A = \lambda \cdot A + \mu \cdot A$£.
  3. Proprietà associativa: data una matrice £$A$£, e dati i due scalari £$\lambda$£ e £$\mu$£, si ha £$\lambda \cdot (\mu \cdot A) = (\lambda \cdot \mu) \cdot A$£.
  4. Esistenza dell’elemento neutro: data una matrice £$A$£, esiste uno scalare che, moltiplicato per £$A$£, lascia invariata la matrice, ed è il numero reale £$1$£: si ha £$ 1 \cdot A = A$£.

Si dimostra facilmente che l’insieme delle matrici con elementi reali e di dimensione £$m \times n$£, dotato delle operazioni di addizione tra matrici e di moltiplicazione di una matrice per uno scalare, costituisce uno spazio vettoriale.

Trovi gli esercizi su questo argomento nella lezione successiva.