Prodotto di matrici

Scopri come calcolare una moltiplicazione tra matrici e quali sono le proprietà di questa operazione.

Appunti

Un ultimo sforzo per scoprire tutte le operazioni che possiamo fare con le matrici: ecco la tecnica per moltiplicare tra di loro due matrici.

Tutte queste operazioni sono fondamentali non soltanto nell’algebra lineare, ma anche in altri rami della matematica, nella fisica, nell’ingegneria, nelle scienze in genere.

In questa lezione vedrai anche quali sono le proprietà principali di questa operazioni.

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Prerequisiti per Prodotto di matrici

I prerequisiti per prodotto di matrici sono:

Come si esegue la moltiplicazione tra matrici

Date due matrici £$A$£ e £$B$£ rispettivamente di dimensione £$m \times n$£ e £$p \times q$£, è possibile definire una operazione di moltiplicazione tra le matrici, a condizione che sia £$n = p$£.

La matrice prodotto £$C = AB$£ è di dimensione £$m \times q$£, e l’elemento £$c_{ij}$£ (con £$1 \le i \le m$£ e £$1 \le j \le q$£) della matrice prodotto è uguale al prodotto scalare tra la riga £$i$£-esima di £$A$£ e la colonna £$j$£-esima di £$B$£.

Quali sono le proprietà della moltiplicazione tra matrici

La moltiplicazione tra matrici soddisfa le seguenti proprietà (nel seguito si ipotizza che le dimensioni delle generiche matrici siano tali per cui i prodotti via via indicati possano essere calcolati):

  1. Proprietà associativa: date due matrici £$A$£ e £$B$£, si ha £$(AB)C = A(BC)$£
  2. Proprietà distributiva rispetto all’addizione tra matrici: date tre matrici £$A$£, £$B$£ e £$C$£, si ha £$A(B+C) = AB +AC$£.
  3. Esistenza dell’elemento neutro: data una matrice £$A$£, di dimensione £$m \times n$£, esistono due matrici £$I_m$£ e £$I_n$£ tali per cui si ha £$AI_m = I_nA = A$£: queste matrici £$I_m$£ e £$I_n$£ sono rispettivamente le matrici identità di ordine £$m$£ ed £$n$£.
  4. Prodotto con la matrice nulla: data una matrice £$A$£, di dimensione £$m \times n$£, e date due matrici nulle £$0_m$£ con £$m$£ righe e un numero qualunque di colonne e £$0_n$£ con £$n$£ colonne e un numero qualunque di righe, si ha che £$A0_m$£ e £$0_nA$£ sono entrambe matrici nulle.