Proprietà di addizione e sottrazione tra matrici

Scopri le proprietà delle addizioni e le sottrazioni tra matrici.

Appunti

Le operazioni di addizione e sottrazione, ma anche altre operazioni sono fondamentali non soltanto nell’algebra lineare, ma anche in altri rami della matematica, nella fisica, nell’ingegneria, nelle scienze in genere.

In questa lezione vedrai quali sono le proprietà principali di addizione e sottrazione tra matrici.

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Prerequisiti per Proprietà addizione e sottrazione di matrici

I prerequisiti per proprietà di addizione e sottrazione di matrici sono:

Quali sono le proprietà dell’addizione e della sottrazione tra matrici

L’addizione e la sottrazione tra matrici soddisfano le seguenti proprietà.

1. Proprietà commutativa: date due matrici £$A$£ e £$B$£, si ha £$A + B = B + A$£.

Esempio: date le matrici £$A = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right]$£ e £$B = \left[\begin{matrix}1 & -1 & 5 \\ 0 & 2 & -1 \end{matrix}\right]$£

abbiamo £$A + B = \left[\begin{matrix}3+1 & 7-1 & 2+5 \\ 4+0 & -2+2 & -3-1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 6 & 7 \\ 4 & 0 & -4 \end{matrix}\right]$£ e £$B + A = \left[\begin{matrix}1+3 & -1+7 & 5+2 \\ 0+4 & 2-2 & -1-3 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 6 & 7 \\ 4 & 0 & -4 \end{matrix}\right]$£

2. Proprietà associativa: date tre matrici £$A$£, £$B$£ e £$C$£, si ha £$(A + B) + C = A + (B + C)$£.

Esempio: date le matrici £$A = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right]$£, £$B = \left[\begin{matrix}1 & -1 & 5 \\ 0 & 2 & -1 \end{matrix}\right]$£ e £$C = \left[\begin{matrix}0 & -6 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{matrix}\right]$£

abbiamo £$(A + B) + C = A + (B + C) = \left[\begin{matrix}(3+1) + 0 & (7-1)-6 & (2+5)+1 \\ (4+0)+2 & (-2+2)-1 & (-3-1)+1 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 8 \\ 6 & -1 & -3 \end{matrix}\right]$£

e £$A + (B + C) = \left[\begin{matrix}3+(1+0) & 7+(-1-6) & 2+(5+1) \\ 4+(0+2) & -2+(2-1) & -3+(-1+1) = \left[\begin{matrix}4 & 0 & 8 \\ 6 & -1 & -3 \end{matrix}\right]\end{matrix}\right]$£

3. Esistenza dell’elemento neutro: data una matrice £$A$£, esiste un elemento neutro per l’addizione, cioè esiste una matrice £$N$£ tale per cui £$A + N = A$£.

Esempio: data la matrice £$A = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right]$£

si ha £$A + N = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3+0 & 7+0 & 2+0 \\ 4+0 & -2+0 & -3+0 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right] = A$£

4. Esistenza dell’elemento opposto: data una matrice £$A$£, esiste un elemento opposto per l’addizione, cioè esiste una matrice £$-A$£ tale per cui £$A + (-A) = N$£, dove £$N$£ è la matrice nulla.

Esempio:
data la matrice £$A = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right]$£ si ha £$A + (-A) = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}-3 & -7 & -2 \\ -4 & 2 & 3 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3-3 & 7-7 & 2-2 \\ 4-4 & -2+2 & -3+3 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = N$£.

Date due matrici £$A$£ e £$B$£, si ha £$A – B = A + (-B)$£. In altre parole, la differenza tra due matrici può essere calcolata sommando la prima matrice (minuenda) con l’opposta della seconda matrice (sottraenda).

Quali sono le proprietà della sottrazione tra matrici

La sottrazione tra matrici soddisfa la seguente proprietà.

Esistenza dell’elemento opposto: data una matrice £$A$£, esiste un elemento opposto per l’addizione, cioè esiste una matrice £$-A$£ tale per cui £$A + (-A) = N$£, dove £$N$£ è la matrice nulla.

Esempio: data la matrice £$A = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right]$£ si ha £$A + (-A) = \left[\begin{matrix}3 & 7 & 2 \\ 4 & -2 & -3 \end{matrix}\right] + \left[\begin{matrix}-3 & -7 & -2 \\ -4 & 2 & 3 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}3-3 & 7-7 & 2-2 \\ 4-4 & -2+2 & -3+3 \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix}0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right] = N$£.

Date due matrici £$A$£ e £$B$£, si ha £$A – B = A + (-B)$£. In altre parole, la differenza tra due matrici può essere calcolata sommando la prima matrice (minuenda) con l’opposta della seconda matrice (sottraenda).