Il rango

In questa lezione imparerai un nuovo importante concetto dell’Algebra lineare: il rango di una matrice, ma soprattutto scoprirai alcuni fondamentali collegamenti tra questa e le altre nozioni che hai già studiato nelle lezioni precedenti, in particolare l'indipendenza lineare.

Appunti

Dopo aver appreso i concetti fondamentali sulle matrici, imparato a eseguire operazioni tra matrici, e scoperto i segreti del determinante, ecco un nuovo concetto importante da comprendere a fondo: il rango di una matrice.

Ti accorgerai subito che questa nozione è strettamente legata al concetto della indipendenza lineare tra vettori. Cosa c’entrano le matrici con i vettori? Be’, lo sai già: ogni riga e ogni colonna di una matrice può essere considerata un vettore!

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Prerequisiti per Il rango

I prerequisiti per individuare il rango di matrici sono:

Cos'è il rango di una matrice

Se consideriamo ogni riga di una matrice come un vettore riga e ogni colonna come un vettore colonna, possiamo definire:

  1. il rango per righe di una matrice come il massimo numero di vettori riga linearmente indipendenti;
  2. il rango per colonne di una matrice come il massimo numero di vettori colonna linearmente indipendenti.

Nel prossimo post scoprirai che il rango per righe di una matrice è sempre uguale al suo rango per colonne. Questo numero si dice rango della matrice.

Esempio: nella matrice £$A = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix}\right]$£ è facile vedere che le due righe sono tra di loro linearmente indipendenti, mentre le tre colonne sono linearmente dipendenti. Prendendone due qualsiasi, risultano sempre linearmente indipendenti. Il rango della matrice è quindi uguale a 2.

Una conseguenza immediata di quanto visto fin qui è che il rango di una matrice è sicuramente minore o uguale al numero di righe della matrice, e anche minore o uguale al numero di colonne della matrice: quindi è minore o uguale al minimo tra il numero di righe e il numero di colonne. Quando il rango è uguale a questo minimo si dice che la matrice ha rango pieno o rango massimo.

Esempio: la matrice di prima, £$A = \left[\begin{matrix}1 & 0 & 3 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix}\right]$£ ha 2 righe e 3 colonne. Il minimo tra il numero di righe e il numero di colonne è quindi 2. Essendo il rango della matrice proprio 2, si può dire che la matrice ha rango pieno.
La matrice £$A = \left[\begin{matrix}0 & 1 & 1 \\ 0 & 2 & 2 \end{matrix}\right]$£, che ha dimensione ancora £$2 \times 3$£, quindi rango pieno pari a 2, non ha rango 2, perché le due righe sono linearmente dipendenti: pertanto il rango per righe, quindi il rango della matrice, è 1. Questa matrice non ha rango pieno.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Perché il rango per righe è uguale al rango per colonne

Data una qualsiasi matrice £$A$£, con dimensione £$m \times n$£, il suo rango per righe £$r$£, cioè il numero massimo di vettori riga tra di loro linearmente indipendenti, è uguale al suo rango per colonne £$c$£, cioè il numero massimo di vettori colonna tra di loro linearmente indipendenti.

Per dimostrarlo, osserva innanzitutto che £$r \le m$£ e £$c \le n$£. Sia £$R_1, R_2, \dots, R_r$£ una base dello spazio generato dalle righe di £$A$£. Le righe stesse di £$A$£ appartengono a questo spazio, quindi ognuna di loro è combinazione lineare della suddetta base, cioè si ha £$A_i = \sum_{j} b_{ij}R_j$£, oppure, in forma compatta, £$A = BR$£. La matrice £$B$£ è quella dei coefficienti £$b_{ij}$£, che ha £$m$£ righe e £$r$£ colonne, mentre £$R$£ è la matrice che ha come righe le £$r$£ componenti £$R_j$£ della base dello spazio generato dalle righe di £$A$£ e ha £$n$£ colonne.

Trasponendo l’espressione precedente, si ha che £$A^T = (BR)^T = R^TB^T$£, da cui si capisce che le righe di £$A^T$£ sono combinazione lineare delle righe di £$B^T$£, con i coefficienti determinati dalla matrice £$R^T$£.

Ma le righe di £$A^T$£ sono le colonne di £$A$£ e le righe di £$B^T$£ sono le £$r$£ colonne della matrice £$B$£. Quindi ogni colonna della matrice £$A$£ è combinazione lineare delle £$r$£ colonne di £$B$£, cioè lo spazio vettoriale a cui appartengono le colonne di £$A$£ ha £$r$£ generatori. Da questo puoi dedurre che tra le colonne di £$A$£ non possono esserci più di £$r$£ vettori colonna linearmente indipendenti, quindi il rango per colonne £$c$£ è minore o uguale a £$r$£.

Se ripercorri tutto il procedimento ragionando sulle colonne anziché sulle righe di £$A$£, deduci, in modo del tutto analogo, che il rango per righe £$r$£ è minore o uguale a £$c$£. Da questa doppia disuguaglianza £$c \le r$£ e £$r \le c$£ segue necessariamente che £$c = r$£, cioè rango per righe e rango per colonne sono uguali.

Grazie a questo teorema possiamo parlare di rango di una matrice: esso è uguale al rango per righe della matrice e anche al suo rango per colonne.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.