Matrici e sistemi lineari

Nelle lezioni di algebra hai studiato i sistemi di equazioni lineari, o semplicemente sistemi lineari, hai imparato a risolverli utilizzando varie tecniche. Ora che conosci le matrici, hai in mano uno strumento molto potente per manipolare e risolvere i sistemi lineari. In questa lezione scoprirai quindi la stretta relazione che lega i sistemi lineari alle matrici e imparerai a sfruttarla efficacemente per completare la tua conoscenza dell’Algebra Lineare.

Appunti

Lo studio delle matrici è strettamente collegato alla risoluzione dei sistemi lineari: in questa lezione scoprirai tutti i segreti di questo legame.

Imparerai a rappresentare un sistema lineare in forma matriciale, determinando la matrice dei coefficienti, il vettore delle incognite e il vettore dei termini noti. Scoprirai quindi cosa si intende per applicazione lineare associata a una matrice (e quindi anche a un sistema lineare), e comprenderai come ciò fornisce una interessante interpretazione della forma matriciale di un sistema lineare.

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Prerequisiti per Matrici e sistemi lineari

Qual è la relazione tra i sistemi lineari e le matrici

Come sai bene, un sistema lineare è un insieme di due o più equazioni lineari (cioè equazioni le cui incognite compaiono al primo grado) che devono essere soddisfatte tutte contemporaneamente. Esiste uno stretto legame tra i sistemi lineari e le matrici.

Consideriamo un generico sistema lineare, con £$m$£ equazioni e £$n$£ incognite:

£$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$£

Il sistema è costituito, per così dire, da tre “ingredienti”:

  • £$x_1, x_2, \dots, x_n$£ sono le £$n$£ incognite del sistema;
  • £$a_{ij}$£ (con £$i = 1, 2, \dots, m$£ e £$j = 1, 2, \dots, n$£) sono i coefficienti del sistema (il primo pedice di ogni coefficiente indica a quale equazione del sistema appartiene, il secondo a quale incognita è associato);
  • £$b_1, b_2, \dots, b_m$£ sono gli £$m$£ termini noti del sistema.

Risolvere un sistema lineare come questo significa determinare una combinazione di £$n$£ numeri reali che, sostituiti alle £$n$£ incognite, soddisfino tutte le equazioni del sistema lineare.

Costruiamo ora i tre seguenti oggetti “matriciali”:

  • Matrice dei coefficienti £$A = \left[\begin{matrix}a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \vdots & & \ddots & \vdots \\ a_{m1} & a_{m2} & \dots & a_{mn} \end{matrix}\right]$£ (è una matrice di dimensione £$m \times n$£)
  • Vettore delle incognite £$\overrightarrow{x} = \left[\begin{matrix}x_1 \\ x_2 \\ \vdots \\ x_n \end{matrix}\right]$£ (è un vettore con £$n$£ elementi)
  • Vettore dei termini noti £$\overrightarrow{b} = \left[\begin{matrix}b_1 \\ b_2 \\ \vdots \\ b_m \end{matrix}\right]$£ (è un vettore con £$m$£ elementi)

Possiamo ora rappresentare il sistema lineare nella seguente forma matriciale (molto utile, come vedrai nei prossimi post): £$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$£

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Cos’è un’applicazione lineare

Supponiamo di avere due spazi vettoriali £$V$£ e £$W$£, e una funzione £$f$£ che ad ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ appartenente a £$V$£ fa corrispondere uno e un solo vettore £$\overrightarrow{w}$£ appartenente a £$W$£.

La funzione £$f$£ si dice applicazione lineare tra i due spazi vettoriali £$V$£ e £$W$£ se “conserva” le combinazioni lineari, cioè, presi due vettori qualsiasi £$\overrightarrow{v_1}$£ e £$\overrightarrow{v_2}$£ di £$V$£ e presi due scalari qualsiasi £$a_1$£ e £$a_2$£, si ha: £$f(a_1\overrightarrow{v_1} + a_2\overrightarrow{v_2}) = a_1f(\overrightarrow{v_1}) + a_2f(\overrightarrow{v_2})$£

Consideriamo il generico sistema lineare con £$m$£ equazioni e £$n$£ incognite:

£$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$£

che in forma matriciale viene scritto come £$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$£.

Possiamo interpretare il sistema affermando che ogni vettore delle incognite £$\overrightarrow{x}$£ viene “trasformato” dalla matrice dei coefficienti £$A$£ in un vettore di termini noti £$\overrightarrow{b}$£.

Più nello specifico, possiamo affermare che la matrice dei coefficienti £$A$£ descrive una applicazione lineare tra i due spazi vettoriali £$\mathbb{R}^n$£ e £$\mathbb{R}^m$£. Infatti, ogni vettore £$\overrightarrow{x}$£ appartiene a £$\mathbb{R}^n$£, mentre ogni vettore dei termini noti appartiene a £$\mathbb{R}^m$£; inoltre, si ha £$A(\lambda_1\overrightarrow{x_1} + \lambda_2\overrightarrow{x_2}) = \lambda_1A\overrightarrow{x_1} + \lambda_2A\overrightarrow{x_2}$£

Per esempio, dato il sistema £$\begin{cases} 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 2 \\ x_1 + 3x_2 - 3x_3 = 0 \\ \end{cases}$£ la matrice dei coefficienti, £$A = \left[\begin{matrix}2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \end{matrix}\right]$£, descrive una applicazione lineare che trasforma vettori di £$\mathbb{R}^3$£ in vettori di £$\mathbb{R}^2$£.

Non sempre un sistema lineare ha soluzioni: può accadere cioè che, dato un vettore di termini noti £$\overrightarrow{b}$£ di £$\mathbb{R}^m$£, non esista in £$\mathbb{R}^n$£ un vettore £$\overrightarrow{x}$£ che viene trasformato in £$\overrightarrow{b}$£ dall’applicazione lineare descritta da £$A$£. L’insieme dei vettori di termini noti per i quali ciò accade è detto immagine dell’applicazione lineare stessa. Quindi, un sistema lineare £$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$£ ha soluzioni se e solo se il vettore £$\overrightarrow{b}$£ appartiene all’immagine dell’applicazione lineare descritta dalla matrice £$A$£, che d’ora in poi indicheremo con £$I_A$£.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.