Teorema di Cramer per risolvere i sistemi lineari

Alle superiori hai imparato il teorema di Cramer, secondo il quale ogni soluzione £$x_i$£ di un sistema lineare con £$n$£ equazioni ed £$n$£ incognite si può calcolare come £$\frac{det(B_i)}{det(A)}$£, cioè come il rapporto tra il determinante della matrice che si ottiene da £$A$£ sostituendo la £$i$£-esima colonna con il vettore dei termini noti e il determinante della matrice dei coefficienti £$A$£.

Ora, grazie alle conoscenze acquisite di algebra lineare, possiamo facilmente dimostrare questo teorema (inoltre, ora che sai calcolare agevolmente i determinanti di matrici anche grandi, puoi applicare questo teorema anche a sistemi abbastanza grandi).

Consideriamo un sistema lineare £$A \overrightarrow{x} = \overrightarrow{b} $£, dove £$A$£ è una matrice quadrata di ordine £$n$£ (in questo caso, quindi, il numero di righe di £$A$£, cioè il numero di equazioni del sistema lineare, è uguale al numero di colonne di £$A$£, cioè al numero di incognite del sistema lineare, e questo numero è pari a £$n$£).

Escludiamo due casi “patologici”:

• il caso in cui il rango della matrice di £$A$£ sia diverso dal rango della matrice completa: quindi, per il teorema di Rouché-Capelli, il sistema non è impossibile;
• il caso in cui il determinante di £$A$£ sia zero, cioè il caso di rango non pieno, ovvero il caso in cui applicando il metodo di Gauss alla matrice completa si ottenga una matrice con una riga completamente nulla: quindi il sistema non è indeterminato.

Per ogni £$i = 1, \dots, n$£ costruiamo la matrice £$M_i$£ ottenuta a partire dalla matrice identità di ordine £$n$£ sostituendo la £$i$£-esima colonna con il vettore delle incognite £$x$£. Si vede facilmente che il determinante di ogni matrice £$M_i$£ è uguale a £$x_i$£.

Calcoliamo ora, per il generico £$i$£, il prodotto di matrici £$AM_i$£:

$$ B_i = AM_i = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & x_1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & x_2 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \vdots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x_n & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}\right] =\\ = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & b_1 & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & b_2 & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & b_n & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right] $$ 

Come sai bene, il determinante di un prodotto di matrici è uguale al prodotto dei singoli determinanti. Quindi si ha, per il generico £$i$£, la relazione £$det(A)det(M_i) = det(B_i)$£. Ma, dato che £$det(M_i) = x_i$£, ricaviamo £$x_i = \frac{det(B_i)}{det(A)}$£, che è l’espressione del teorema di Cramer.

Per esempio, consideriamo il sistema £$\begin{cases} x_1 - x_2 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_2 = 0 \\ \end{cases}$£ La matrice dei coefficienti è £$A = \left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}\right]$£, che, come puoi verificare facilmente, ha determinante uguale a £$2$£.

Le soluzioni si trovano come segue: £$x_1 = \frac{det\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}\right]}{det(A)} = \frac{2}{2} = 1$£

£$x_2= \frac{det\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]}{det(A)} = \frac{0}{2} = 0$£

£$x_3 = \frac{det\left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}\right]}{det(A)} = \frac{2}{2} = 1$£