Prerequisiti per Teorema di Cramer per risolvere i sistemi lineari
I prerequisiti per applicare il Teorema di Cramer per risolvere i sistemi lineari sono:
Scopri come utilizzare il teorema di Cramer che hai già imparato per risolvere i sistemi lineari.
Ricordi il metodo di Cramer per risolvere i sistemi lineari? Bene, alla fine di questa lezione comprenderai perché il metodo funziona, e lo capirai proprio sulla base dell’interpretazione dei sistemi lineare in forma matriciale.
Con questa lezione si conclude il viaggio alla scoperta delle matrici. Buon proseguimento!
I prerequisiti per applicare il Teorema di Cramer per risolvere i sistemi lineari sono:
Alle superiori hai imparato il teorema di Cramer, secondo il quale ogni soluzione £$x_i$£ di un sistema lineare con £$n$£ equazioni ed £$n$£ incognite si può calcolare come £$\frac{det(B_i)}{det(A)}$£, cioè come il rapporto tra il determinante della matrice che si ottiene da £$A$£ sostituendo la £$i$£-esima colonna con il vettore dei termini noti e il determinante della matrice dei coefficienti £$A$£.
Ora, grazie alle conoscenze acquisite di algebra lineare, possiamo facilmente dimostrare questo teorema (inoltre, ora che sai calcolare agevolmente i determinanti di matrici anche grandi, puoi applicare questo teorema anche a sistemi abbastanza grandi).
Consideriamo un sistema lineare £$A \overrightarrow{x} = \overrightarrow{b} $£, dove £$A$£ è una matrice quadrata di ordine £$n$£ (in questo caso, quindi, il numero di righe di £$A$£, cioè il numero di equazioni del sistema lineare, è uguale al numero di colonne di £$A$£, cioè al numero di incognite del sistema lineare, e questo numero è pari a £$n$£).
Escludiamo due casi “patologici”:
Per ogni £$i = 1, \dots, n$£ costruiamo la matrice £$M_i$£ ottenuta a partire dalla matrice identità di ordine £$n$£ sostituendo la £$i$£-esima colonna con il vettore delle incognite £$x$£. Si vede facilmente che il determinante di ogni matrice £$M_i$£ è uguale a £$x_i$£.
Calcoliamo ora, per il generico £$i$£, il prodotto di matrici £$AM_i$£:
$$ B_i = AM_i = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right]\left[\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & \dots & 0 & x_1 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & \dots & 0 & x_2 & 0 & \dots & 0 & 0 \\ \dots & \dots & \dots & \dots & \dots & \vdots & \dots & \dots & \dots & \dots \\ 0 & 0 & 0 & \dots & 0 & x_n & 0 & \dots & 0 & 1 \end{matrix}\right] =\\ = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & a_{n1}x_1 + a_{n2}x_2 + \dots + a_{nn}x_n & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right] = \left[\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \dots & b_1 & \dots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \dots & b_2 & \dots & a_{2n} \\ \dots & \dots & \dots & \dots \\ a_{n1} & a_{n2} & \dots & b_n & \dots & a_{nn} \end{matrix}\right] $$
Come sai bene, il determinante di un prodotto di matrici è uguale al prodotto dei singoli determinanti. Quindi si ha, per il generico £$i$£, la relazione £$det(A)det(M_i) = det(B_i)$£. Ma, dato che £$det(M_i) = x_i$£, ricaviamo £$x_i = \frac{det(B_i)}{det(A)}$£, che è l’espressione del teorema di Cramer.
Per esempio, consideriamo il sistema £$\begin{cases} x_1 - x_2 = 1 \\ 2x_1 + 3x_2 - x_3 = 1 \\ 2x_2 = 0 \\ \end{cases}$£ La matrice dei coefficienti è £$A = \left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 2 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}\right]$£, che, come puoi verificare facilmente, ha determinante uguale a £$2$£.
Le soluzioni si trovano come segue: £$x_1 = \frac{det\left[\begin{matrix}1 & -1 & 0 \\ 1 & 3 & -1 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}\right]}{det(A)} = \frac{2}{2} = 1$£
£$x_2= \frac{det\left[\begin{matrix}1 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix}\right]}{det(A)} = \frac{0}{2} = 0$£
£$x_3 = \frac{det\left[\begin{matrix}1 & -1 & 1 \\ 2 & 3 & 1 \\ 0 & 2 & 0 \end{matrix}\right]}{det(A)} = \frac{2}{2} = 1$£