Teorema di Rouché-Capelli

Scriviamo il sistema nella forma

£$\left[\begin{matrix}a_{11} \\ a_{a1} \\ \vdots \\ a_{m1} \end{matrix}\right]x_1 + \left[\begin{matrix}a_{12} \\ a_{22} \\ \vdots \\ a_{m2} \end{matrix}\right]x_2 + \dots + \left[\begin{matrix}a_{1n} \\ a_{2n} \\ \vdots \\ a_{mn} \end{matrix}\right]x_n = \overrightarrow{b}$£

Si vede che l’immagine £$I_A$£ è il sottospazio di £$\mathbb{R}^m$£ generato dai vettori colonna della matrice £$A$£. La dimensione di un sottospazio è il numero di vettori di una sua base, cioè di generatori linearmente indipendenti: nel caso di £$I_A$£, la dimensione è quindi uguale al massimo numero di colonne linearmente indipendenti di £$A$£, cioè al rango della matrice £$A$£.

Ora, come abbiamo visto, il generico sistema lineare con £$m$£ equazioni e £$n$£ incognite

£$\begin{cases} a_{11}x_1 + a_{12}x_2 + \dots + a_{1n}x_n = b_1 \\ a_{21}x_1 + a_{22}x_2 + \dots + a_{2n}x_n = b_2 \\ \dots \\ a_{m1}x_1 + a_{m2}x_2 + \dots + a_{mn}x_n = b_m \end{cases}$£

ha soluzioni se e solo se il vettore dei termini noti £$\overrightarrow{b}$£ appartiene all’immagine £$I_A$£ dell’applicazione lineare descritta dalla matrice £$A$£, cioè al sottospazio di £$\mathbb{R}^m$£ generato dai vettori colonna di £$A$£.

In questo caso, il rango di £$I_A$£ non varia se aggiungiamo alla matrice £$A$£, come £$n+1$£-esima colonna, il vettore £$\overrightarrow{b}$£ stesso. Viceversa, se aggiungendo £$\overrightarrow{b}$£ alla matrice £$A$£ non si ha variazione di rango, si deduce che tale vettore appartiene a £$I_A$£.

La matrice £$A’$£ ottenuta aggiungendo a £$A$£ il vettore dei termini noti £$\overrightarrow{b}$£ si dice matrice completa (o aumentata) del nostro sistema lineare.

In definitiva, il sistema lineare £$A\overrightarrow{x} = \overrightarrow{b}$£ ammette soluzioni se e solo se il rango di £$A$£ è uguale al rango della matrice completa. Questo risultato fondamentale dell’algebra lineare è noto come teorema di Rouché-Capelli.

Vediamo ora qualche esempio di applicazione del teorema di Rouché-Capelli. La matrice dei coefficienti associata al solito sistema lineare £$\begin{cases} 2x_1 + x_2 - 2x_3 = 2 \\ x_1 + 3x_2 - 3x_3 = 0 \\ \end{cases}$£ è £$A = \left[\begin{matrix}2 & 1 & -2 \\ 1 & 3 & -3 \end{matrix}\right]$£, che ha rango pieno, uguale a £$2$£. La matrice completa è £$A’ = \left[\begin{matrix}2 & 1 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -3 & 0 \end{matrix}\right]$£, che ha ancora rango pieno, uguale a £$2$£.

Possiamo quindi concludere, grazie al teorema di Rouché-Capelli, che il nostro sistema lineare ammette soluzioni. Invece, nel sistema lineare £$\begin{cases} 2x_1 + 6x_2 - 2x_3 = 2 \\ x_1 + 3x_2 - x_3 = 0 \\ \end{cases}$£ la matrice dei coefficienti è £$A = \left[\begin{matrix}2 & 6 & -2 \\ 1 & 3 & -1 \end{matrix}\right]$£, che ha rango non pieno, uguale a £$1$£ (le due righe sono infatti linearmente dipendenti), mentre la matrice completa è £$A’ = \left[\begin{matrix}2 & 6 & -2 & 2 \\ 1 & 3 & -1 & 0 \end{matrix}\right]$£ ha rango pieno, uguale a £$2$£. Il teorema di Rouché-Capelli ci dice allora che questo sistema lineare non ammette soluzioni.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Nel caso dei sistemi lineari omogenei, cioè i sistemi lineari in cui tutti i termini noti sono uguali a zero, cioè £$\overrightarrow{b}$£ è un vettore nullo, la matrice completa £$A’$£ ha sicuramente lo stesso rango della matrice dei coefficienti £$A$£, perché aggiungere una colonna completamente nulla non può aumentare il rango. Quindi, per il teorema di Rouché-Capelli, un sistema lineare omogeneo ammette sicuramente soluzione (ciò conferma un fatto già noto: un sistema lineare omogeneo ha sicuramente almeno la soluzione “banale”, data da £$\overrightarrow{x} = 0$£).

Un’altra proprietà dei sistemi lineari omogenei è la seguente: condizione necessaria e sufficiente affinché l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare sia un sottospazio vettoriale è che il sistema lineare sia omogeneo.

Infatti, detto £$S$£ l'insieme delle soluzioni di un sistema lineare omogeneo £$A\overrightarrow{x} = 0$£, se £$\overrightarrow{x_1}$£ e £$\overrightarrow{x_2}$£ sono due vettori appartenenti a £$S$£ , cioè due soluzioni del sistema, si trova che £$A\overrightarrow{x_1} = 0$£ e £$A\overrightarrow{x_2} = 0$£.

Presi due scalari qualsiasi £$a_1$£ e £$a_2$£, si ha anche £$Aa_1\overrightarrow{x_1} = 0$£ e £$Aa_2\overrightarrow{x_2} = 0$£, cioè £$A(a_1\overrightarrow{x_1} + a_2\overrightarrow{x_2}) = 0$£. Di conseguenza, ogni combinazione lineare di £$\overrightarrow{x_1}$£ e £$\overrightarrow{x_2}$£ appartiene all'insieme £$S$£, che quindi è un sottospazio vettoriale. Dobbiamo anche dimostrare l'implicazione opposta, e cioè che se sussiste questa chiusura dell'insieme delle soluzioni £$S$£ rispetto alle combinazioni lineari, il sistema lineare in questione non può che essere omogeneo. Basta osservare che, se il sistema non fosse omogeneo, l'insieme £$S$£ non conterrebbe il vettore nullo (la soluzione “banale” di cui parlavamo prima), e quindi non potrebbe essere un sottospazio vettoriale.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.