Dipendenza e indipendenza lineare

Consideriamo un insieme di vettori £$\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \dots, \overrightarrow{v_n}$£ appartenenti a uno spazio vettoriale £$V$£. Moltiplichiamo ogni vettore £$\overrightarrow{v_i}$£ per uno scalare £$a_i$£, e calcoliamo la somma complessiva dei vettori ottenuti: £$a_1\overrightarrow{v_1} + a_2\overrightarrow{v_2} + \dots + a_n\overrightarrow{v_n}$£. La somma è detta combinazione lineare dei vettori £$\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \dots, \overrightarrow{v_n}$£ con gli scalari £$a_1, a_2, \dots, a_n$£. La somma è stata ottenuta attraverso operazioni lineari, cioè l’addizione tra due o più vettori e la moltiplicazione di un vettore per uno scalare. Per definizione di spazio vettoriale, queste operazioni producono come risultato vettori che appartengono ancora allo stesso spazio vettoriale £$V$£. Se scegliamo gli scalari £$a_i, i = 1 \dots n$£ in modo che soddisfino le due proprietà seguenti:

• £$a_1 + a_2 + \dots + a_n = 1$£ (tutti gli scalari sono non negativi);
• £$a_i \geq 0, \forall i = 1 \dots n$£ (la somma degli scalari è uguale a 1)

Dato un insieme di vettori £$\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \dots, \overrightarrow{v_n}$£ in uno spazio vettoriale £$V$£, essi si dicono linearmente indipendenti se l’uguaglianza £$a_1\overrightarrow{v_1} + a_2\overrightarrow{v_2} + \dots + a_n\overrightarrow{v_n} = 0$£ è soddisfatta se e solo se tutti gli scalari sono uguali a zero. Dato lo stesso insieme di vettori, essi si dicono invece linearmente dipendenti se esiste almeno una n-upla di scalari non tutti nulli che annulla la suddetta combinazione lineare. Valgono poi i seguenti teoremi, la cui dimostrazione è lasciata come esercizio:

• i vettori £$\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \dots, \overrightarrow{v_n}$£ sono linearmente indipendenti se e solo se nessuno di loro può essere scritto come combinazione lineare degli altri;
• viceversa, i vettori £$\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \dots, \overrightarrow{v_n}$£ sono linearmente dipendenti se e solo se ogni vettore può essere scritto come combinazione lineare degli altri;
• i vettori £$\overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \dots, \overrightarrow{v_n}$£ sono linearmente dipendenti se e solo se è possibile eliminarne qualcuno per ottenere un insieme di vettori linearmente indipendenti: non necessariamente esiste un solo modo di effettuare questa operazione di eliminazione;
• se un insieme di vettori contiene il vettore nullo, allora è un insieme di vettori linearmente dipendenti.

Dato un insieme di vettori £$\left \{ \overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \dots, \overrightarrow{v_n} \right \}$£ di uno spazio vettoriale £$V$£, non è detto che qualsiasi vettore di £$V$£ possa essere espresso come combinazione lineare di quei vettori. In altri termini, non sempre è possibile determinare una n-upla di scalari £$a_1, a_2, \dots, a_n$£ tali che £$a_1\overrightarrow{v_1} + a_2\overrightarrow{v_2} + \dots + a_n\overrightarrow{v_n}$£ sia uguale a £$\overrightarrow{u}$£. Quando è possibile, si dice che l’insieme dei vettori considerato è un sistema di generatori dello spazio vettoriale £$V$£, e anche che l’insieme dei vettori genera l’intero £$V$£, cioè tutti i vettori di quello spazio. Due teoremi che enunciamo senza dimostrazione affermano che:

• dato un qualsiasi spazio vettoriale che non comprenda il solo vettore nullo, esistono sempre infiniti sistemi di generatori possibili;
• dato un qualunque insieme £$S$£ di vettori di uno spazio vettoriale £$V$£, l’insieme generato da £$S$£ è sempre un sottospazio vettoriale di £$V$£, cioè un sottoinsieme di £$V$£ chiuso rispetto alle operazioni di addizione tra vettori e di moltiplicazione per uno scalare.

Finché un sistema di generatori è formato da vettori tra di loro linearmente dipendenti, è sempre possibile eliminare dal sistema un vettore senza che cambi lo spazio generato dal sistema. Se invece un sistema di generatori è formato da vettori tra di loro linearmente indipendenti, nessun vettore del sistema è “inutile”, cioè eliminando un vettore qualsiasi il sistema non è più in grado di generare, come prima, l’intero spazio vettoriale. Un sistema di generatori di uno spazio vettoriale formato da vettori tra di loro linearmente indipendenti si dice base dello spazio vettoriale stesso. Due importanti teoremi relativi alle basi, che non dimostriamo, affermano che:

• ogni spazio vettoriale £$V$£ ammette infinite basi;
• ogni vettore di uno spazio vettoriale £$V$£ può essere espresso in modo univoco come combinazione lineare dei vettori di una sua base (invece, se anziché una base avessimo un qualsiasi sistema di generatori, ogni vettore di £$V$£ potrebbe essere espresso come combinazione lineare dei vettori del sistema, ma lo potremmo fare in più modi diversi, cioè con diverse scelte degli scalari).

Tutte le basi di uno spazio vettoriale sono formate dallo stesso numero di vettori. Per esempio, tutte le basi di £$\mathbb{R}^2$£ sono formate da due vettori. Ciò significa che i sistemi di generatori di £$\mathbb{R}^2$£ formati da tre o più vettori non saranno mai basi di questo spazio vettoriale, mentre i sistemi di generatori formati da due vettori possono essere basi oppure no. In generale, per ogni spazio vettoriale £$V$£ esiste un numero £$n$£, che viene chiamato dimensione dello spazio vettoriale, tale per cui:

• ogni base di £$V$£ è formata da £$n$£ vettori;
• ogni sistema di generatori formato da più di £$n$£ vettori non è una base di £$V$£.

Consideriamo una base £$B = \left \{ \overrightarrow{u_1}, \overrightarrow{u_2}, \dots, \overrightarrow{u_n} \right \}$£ dello spazio vettoriale £$V$£, e consideriamo un qualsiasi vettore £$\overrightarrow{v}$£ dello spazio £$V$£.
Diciamo che gli scalari £$a_1, a_2, \dots, a_n$£ sono le componenti del vettore £$\overrightarrow{v}$£ rispetto alla base £$B$£ se la combinazione lineare (unica) che esprime il vettore stesso rispetto ai vettori della base £$B$£ utilizza questi scalari. Le componenti di un qualsiasi vettore rispetto alla base di uno spazio vettoriale £$V$£ cui il vettore appartiene sono in numero uguale alla dimensione di £$V$£.
Se consideriamo uno spazio vettoriale cartesiano, di tipo £$\mathbb{R}^n$£, si dice base canonica la base formata dai vettori £$\left \{ \overrightarrow{e_1} = (1, 0, \dots, 0), \overrightarrow{e_2} = (0, 1, 0, \dots, 0), \dots, \overrightarrow{e_n} = (0, 0, \dots, 0, 1), \right \}$£. In generale, le componenti di un vettore £$\overrightarrow{v}$£ di £$\mathbb{R}^n$£ rispetto alla base canonica sono quelle che abbiamo finora sempre utilizzato per esprimere un vettore nella forma £$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, \dots, v_n)$£, e corrispondono, dal punto di vista geometrico, alle componenti del vettore £$\overrightarrow{v}$£ rispetto agli assi cartesiani.

Il teorema del completamento della base afferma quanto segue: se abbiamo un insieme di vettori linearmente indipendenti £$\left \{ \overrightarrow{v}_1, \overrightarrow{v}_2, \dots, \overrightarrow{v}_m \right \}$£ di uno spazio vettoriale £$V$£, allora la dimensione di £$V$£ è uguale a £$n \geq m$£, ed esistono £$n-m$£ vettori £$\left\{ \overrightarrow{v}_{m+1}, \overrightarrow{v}_{m+2}, \ldots, \overrightarrow{v_n} \right\}$£ tali che l’insieme £$\left \{ \overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \dots, \overrightarrow{v_n} \right \}$£ costituisce una base di £$V$£.
La sua dimostrazione costituisce anche un algoritmo per risolvere un esercizio molto frequente: costruire una base di uno spazio vettoriale a partire da un insieme di vettori linearmente indipendenti appartenenti allo spazio stesso.
Dato un insieme di vettori linearmente indipendenti £$\left \{ \overrightarrow{v_1}, \overrightarrow{v_2}, \dots, \overrightarrow{v_m} \right \}$£ di uno spazio vettoriale £$V$£, possiamo aggiungervi una base nota di £$V$£ (ad esempio una base canonica, se £$V$£ è uno spazio cartesiano). Otteniamo così un insieme di vettori che sicuramente genera tutto lo spazio £$V$£, ma che potrebbe non essere una base di £$V$£.
Disponiamo allora i vettori dell’insieme in ordine, partendo da quelli dati inizialmente e terminando con la base nota aggiunta. Eliminiamo, partendo da sinistra, i vettori ottenibili come combinazioni lineari di vettori che figurano precedentemente nell’insieme ordinato. Dato che i primi £$m$£ vettori sono linearmente indipendenti, saranno eliminati soltanto alcuni dei vettori della base nota aggiunta. Al termine dell’operazione, avremo ottenuto un insieme di vettori linearmente indipendenti che generano l’intero spazio £$V$£, cioè una base di £$V$£.