Introduzione ai vettori

Scopri cosa sono i vettori, e perché sono così importanti, in matematica e nelle scienze applicate, come la fisica. Impara a rappresentare un vettore in forma geometrica, come un segmento orientato, oppure indicando le sue componenti cartesiane. Scopri infine cosa si intende per vettori equipollenti, per scomposizione di un vettore e per versori.

Appunti

L’algebra lineare è una parte molto importante della matematica. Vettori e matrici sono i due concetti centrali di questa branca della matematica.

Cominciamo dai vettori! Scoprirai in questa lezione perché i vettori sono così utili non solo in matematica ma anche, e soprattutto, in molte scienze applicate, come la fisica.

Partiremo proprio dalla fisica, in particolare dal concetto di spostamento di un corpo, per capire cos’è un vettore e come esso sia caratterizzato da un modulo, da una direzione e da un verso.

Imparerai a rappresentare geometricamente i vettori, come segmenti orientati.

Vedrai quindi come è possibile disegnare vettori nel piano cartesiano bidimensionale, ma anche nello spazio a tre dimensioni, e perfino in spazi a più di 3 dimensioni!

Scoprirai a questo punto cosa significa che due vettori sono tra di loro equipollenti.

Infine, imparerai a scomporre un vettore nelle sue componenti cartesiane e apprenderai l’utilissimo concetto di versore.

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Cosa sono e a che cosa servono i vettori

In fisica ci sono due tipi di grandezze:

  • quelle che possono essere espresse semplicemente tramite un numero, riferito a un’unità di misura (ad esempio, la lunghezza, il tempo, la temperatura, l’energia)
  • quelle per le quali un numero e un’unità di misura non bastano (ad esempio, lo spostamento, la velocità, l’accelerazione)

Le prime si dicono grandezze scalari, le seconde grandezze vettoriali. Per esprimere una grandezza vettoriale, cioè per descrivere un vettore, abbiamo bisogno di tre informazioni:

  • un modulo (detto anche intensità), cioè l’informazione numerica rapportata a un’unità di misura
  • una direzione
  • un verso

Come rappresentare geometricamente un vettore

Per rappresentare geometricamente un vettore puoi disegnare un segmento orientato, cioè un segmento con una freccia. In questo modo:

  • il modulo del vettore è indicato dalla lunghezza del segmento;
  • la direzione del vettore corrisponde alla retta alla quale appartiene il segmento orientato, o a una qualsiasi altra retta parallela;
  • il verso del vettore è indicato dalla punta della freccia.

I due punti estremi di un vettore non sono intercambiabili: uno è il “punto iniziale” e l’altro il “punto finale” del vettore. Puoi indicare un vettore con la scrittura £$\overrightarrow{AB}$£, oppure, in alternativa, usando una lettera, ad esempio con £$\overrightarrow{v}$£. Un altro modo frequente di indicare un vettore è utilizzare il grassetto: £$\mathbf{v}$£. Il vettore £$\overrightarrow{BA}$£ non è uguale al vettore £$\overrightarrow{AB}$£: questi due vettori hanno infatti uguale modulo (£$\overline{AB} = \overline{BA}$£), uguale direzione, ma versi opposti, e si dicono opposti tra di loro.

Cosa significa che due vettori sono equipollenti

Due vettori di uguale lunghezza appartenenti rispettivamente a due rette parallele hanno sicuramente uguale modulo e uguale direzione. Se anche il verso è lo stesso, si dice che i vettori sono equipollenti, altrimenti sono opposti.

Dato un vettore, puoi trovare infiniti altri vettori equipollenti al vettore dato. L’equipollenza è una relazione di equivalenza, perché:

  • ogni vettore è equipollente a se stesso (proprietà riflessiva);
  • se £$\overrightarrow{u}$£ è equipollente a £$\overrightarrow{v}$£, allora £$\overrightarrow{v}$£ è equipollente a £$\overrightarrow{u}$£ (proprietà simmetrica);
  • se £$\overrightarrow{u}$£ è equipollente a £$\overrightarrow{v}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ è equipollente a £$\overrightarrow{w}$£, allora £$\overrightarrow{u}$£ è equipollente a £$\overrightarrow{w}$£ (proprietà transitiva).

L’insieme degli infiniti vettori equipollenti a un vettore dato costituisce quindi una classe di equivalenza che, per convenzione, viene definita vettore libero, o semplicemente vettore, e che è identificata univocamente dalla terna formata da modulo, direzione e verso.

Cosa significa scomporre un vettore nelle sue componenti

Se tracci in un piano cartesiano le due rette passanti per gli estremi di un vettore £$\overrightarrow{v}$£ e perpendicolari agli assi, ottieni le proiezioni del vettore sui due assi. Le lunghezze di tali proiezioni sono dette componenti del vettore lungo gli assi cartesiani.

Attenzione!: la componente del vettore lungo l’asse x devi considerarla col segno negativo se il verso del vettore punta a sinistra; la componente lungo l’asse y devi considerarla negativa se il verso del vettore punta in basso.

Applicando i teoremi della trigonometria e il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo formato dal vettore £$\overrightarrow{v}$£ e dalle rette perpendicolari agli assi, puoi determinare:

  • le componenti del vettore, dati il suo modulo e l’angolo £$\alpha$£ compreso tra la direzione del vettore e l’asse x;
  • l’angolo £$\alpha$£, date le componenti del vettore;
  • il modulo del vettore, date le sue componenti.

Puoi anche estendere questi ragionamenti ad un vettore posto in un sistema di assi cartesiani nello spazio a più di 2 dimensioni. Ad esempio, puoi dimostrare che vale una formula del tutto analoga a quella vista nel piano cartesiano per determinare il modulo del vettore date le sue componenti lungo gli assi: £$v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$£.

Cosa sono i versori

Un vettore con direzione e verso qualsiasi, ma con modulo uguale a 1 viene chiamato vettore unitario, o versore, e viene indicato di solito con £$\hat v$£.

Un versore è utile per identificare una specifica direzione. Ogni vettore che si trovi lungo questa direzione può essere espresso con riferimento a questo versore: basta moltiplicare il versore per il modulo del vettore in questione, per ottenere il vettore stesso.

In un piano cartesiano possiamo definire i versori £$\hat i$£ e £$\hat j$£ associati rispettivamente alle direzioni dell’asse x e dell’asse y.

Analogamente, in uno spazio cartesiano a 3 dimensioni, possiamo definire i versori £$\hat i$£, £$\hat j$£ e £$\hat k$£ associati rispettivamente alle direzioni dell’asse £$x$£, dell’asse £$y$£ e dell’asse £$z$£.

Dato un qualunque vettore £$\overrightarrow{v}$£ con componenti £$v_x, v_y$£, si ha £$\overrightarrow{v} = v_x \hat i + v_y \hat j$£. Un ragionamento del tutto analogo può essere applicato a spazi cartesiani a più di 2 dimensioni.