Operazioni tra vettori

Scopri quali sono le principali operazioni con i vettori, in particolare le somme e le differenze tra vettori, e anche il prodotto di un vettore per uno scalare.

Appunti

Adesso che sai cosa sono i vettori, scoprirai come si possono calcolare, sia per via geometrica che per via analitica, le somme e le differenze tra vettori.

Impara le proprietà principali delle operazioni tra vettori

Imparerai anche perché sono importanti e utili queste operazioni, in particolare, ma non solo, in fisica.

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Prerequisiti per Operazioni tra vettori

I prerequisiti per imparare a fare le operazioni con i vettori sono:

Cosa sono la somma e la differenza tra vettori

Se abbiamo due vettori £$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{AB}$£ e £$\overrightarrow{w} = \overrightarrow{BC}$£, il vettore somma £$\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}$£ è dato dal segmento orientato che parte da A e termina in C, oppure, equivalentemente, dalla diagonale £$\overrightarrow{AC}$£ del parallelogramma formato dai due vettori dati e dai due vettori ad essi equipollenti £$\overrightarrow{DC}$£ e £$\overrightarrow{AD}$£.
Il
vettore differenza £$\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w}$£ è invece dato dall’altra diagonale del parallelogramma, £$\overrightarrow{DB}$£.

Come si eseguono analiticamente l’addizione e la sottrazione tra vettori

Oltre all’interpretazione geometrica della somma e della differenza tra vettori, esiste anche una interpretazione analitica, che mette in relazione le componenti cartesiane del vettore somma e del vettore differenza con le componenti cartesiane dei vettori di partenza.

In un spazio cartesiano a N dimensioni, dati due vettori £$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, \dots, v_N)$£ e £$\overrightarrow{w} = (w_1, w_2, \dots, w_N)$£, il vettore somma è dato da da £$\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w} = (v_1 + w_1, v_2 + w_2, \dots, v_N + w_N)$£. Analogamente, il vettore differenza è dato da £$\overrightarrow{v} - \overrightarrow{w} = (v_1 - w_1, v_2 - w_2, \dots, v_N - w_N)$£.

Come si eseguono geometricamente l'addizione e la sottrazione tra vettori

Qui di seguito andremo a vedere due metodi per addizionare o sottrarre geometricamente due vettori tra di loro: il metodo del parallelogramma ed il metodo punta-coda.

Metodo del parallelogramma

ADDIZIONE:

Si rappresentano i due vettori £$\overrightarrow{v}$£ e £$\overrightarrow{w}$£ in maniera tale che abbiano la coda coincidente. Si rappresenta il parallelogramma che ha come lati i due vettori, ovvero si traccia la parallela al vettore £$\overrightarrow{w}$£ passante per la punta di £$\overrightarrow{v}$£ e la parallela al vettore £$\overrightarrow{v}$£ passante per la punta di £$\overrightarrow{w}$£.

Si determina il punto di intersezione delle due parallele ai vettori e si traccia il vettore che ha la coda coincidente con la coda dei due vettori e la punta nel punto di intersezione appena determinato.

SOTTRAZIONE:

Si rappresentano i due vettori £$\overrightarrow{v}$£ e £$-\overrightarrow{w}$£, in maniera tale che abbiano la coda coincidente (il vettore £$-\overrightarrow{w}$£ ha lo stesso modulo e la stessa direzione del vettore £$\overrightarrow{w}$£, ma verso opposto). Si procede come nel caso dell’addizione.

 

Metodo punta-coda

Si rappresentano i due vettori £$\overrightarrow{v}$£ e £$\overrightarrow{w}$£ in maniera tale che la punta del primo coincida con la coda del secondo. La somma £$\overrightarrow{v}$£ + £$\overrightarrow{w}$£ è data dal vettore che ha la coda in comune con il primo vettore e la punta in comune con il secondo vettore.

 
 
 
Questo metodo è utilizzato in particolare quando si deve eseguire la somma di più di due vettori.
 
 
 
 
 

 

Quali sono le proprietà dell’addizione e della sottrazione tra vettori

L’addizione tra vettori gode delle seguenti proprietà:

  • proprietà commutativa: £$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$£
  • proprietà associativa: £$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})$£
  • esistenza dell’elemento neutro: £$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{u}$£
  • esistenza dell’elemento opposto: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ esiste il suo vettore opposto, che si indica con £$-\overrightarrow{v}$£, tale che £$\overrightarrow{v} +(-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{0}$£.

In particolare, il vettore nullo £$\overrightarrow{0}$£ è un vettore avente modulo uguale a zero.

Il vettore opposto è, come già visto, il vettore che ha uguale modulo, uguale direzione e verso opposto rispetto al vettore dato.

Una volta chiarito il concetto di vettore opposto, possiamo definire la differenza tra due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ come la somma tra il primo vettore £$\overrightarrow{u}$£ e l’opposto del secondo, £$- \overrightarrow{v}$£.

Cos'è la moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Dato un vettore £$\overrightarrow{v}$£ e uno scalare, cioè un numero reale a, la moltiplicazione del vettore per lo scalare può ricadere in uno dei seguenti due casi:

  • £$a = 0$£, oppure £$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$£: £$a \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$£
  • altrimenti, £$a \cdot \overrightarrow{v}$£ è un vettore che ha:

£$ \rhd $£ modulo uguale al modulo di £$\overrightarrow{v}$£ moltiplicato per il valore assoluto di a;

£$ \rhd $£ direzione invariata;

£$ \rhd $£ verso uguale a quello di £$\overrightarrow{v}$£ se a > 0, opposto altrimenti.

Quali sono le proprietà della moltiplicazione di un vettore per uno scalare

Nel post precedente hai visto la moltiplicazione di un vettore per uno scalare, che ha l’effetto di allungare o accorciare un vettore (eventualmente invertendone il verso se lo scalare è negativo). Questa operazione gode delle seguenti proprietà:

  • proprietà distributiva rispetto alla somma tra scalari: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare £$a$£ e £$b$£, si ha £$(a + b) \overrightarrow{v} = a \overrightarrow{v} + b \overrightarrow{v}$£
  • proprietà distributiva rispetto alla somma tra vettori: per ogni vettore £$\overrightarrow{u}$£, per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare £$a$£, si ha £$a (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = a \overrightarrow{u} + a \overrightarrow{v}$£
  • proprietà associativa: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare £$a$£ e £$b$£, si ha £$a(b \overrightarrow{v}) = (ab) \overrightarrow{v}$£
  • esistenza dell’elemento neutro: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£, si ha £$1 \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}$£.

Un’altra proprietà della moltiplicazione tra un vettore e uno scalare consiste nel fatto che, se del vettore £$\overrightarrow{v}$£ sono conosciute le componenti rispetto agli assi di un sistema cartesiano, moltiplicare il vettore per un numero reale £$a$£ equivale a moltiplicare ciascuna componente per £$a$£.