Prodotto scalare e prodotto vettoriale

In uno spazio vettoriale del tipo £$\mathbb{R}^n$£, per esempio il piano cartesiano £$\mathbb{R}^2$£, lo spazio cartesiano a tre dimensioni £$\mathbb{R}^3$£, o in generale lo spazio cartesiano a n dimensioni £$\mathbb{R}^n$£, si definisce prodotto scalare di due vettori £$\overrightarrow{u} = (u_1, u_2, \dots u_n)$£ e £$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, \dots v_n)$£ il numero reale £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_1v_1 + u_2v_2 + \dots + u_nv_n$£. Il risultato dell’operazione di prodotto scalare è quindi uno scalare, e non un vettore. Nel caso particolare del piano cartesiano £$\mathbb{R}^2$£, il prodotto scalare tra due vettori £$\overrightarrow{u} = (u_x, u_y)$£ e £$\overrightarrow{v} = (v_x, v_y)$£ è uguale a £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_xv_x + u_yv_y$£. Nello spazio cartesiano a tre dimensioni £$\mathbb{R}^3$£, il prodotto scalare tra due vettori £$\overrightarrow{u} = (u_x, u_y, u_z)$£ e £$\overrightarrow{v} = (v_x, v_y, v_z)$£ è uguale a £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = u_xv_x + u_yv_y + u_zv_z$£.

Consideriamo due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ appartenenti a uno spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£, e un numero reale £$\lambda$£. Il prodotto scalare dei due vettori gode delle seguenti proprietà:

commutatività: £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{u}$£

omogeneità: £$(\lambda\overrightarrow{u}) \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{u} \cdot (\lambda\overrightarrow{v}) = \lambda(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$£

distributività rispetto all’addizione: £$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w} + \overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{w}$£ e £$\overrightarrow{u} \cdot (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{w}$£.

Il prodotto scalare non gode invece dell’ associatività. Infatti, un’espressione del tipo £$(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}) \cdot \overrightarrow{w}$£ è priva di senso in quanto il prodotto £$(\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v})$£ è il risultato di un prodotto scalare, e quindi un numero reale, e come tale non può essere il primo operando di un prodotto scalare, operazione che ha dei vettori come operandi. Il prodotto scalare £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$£ dello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£ può essere definito anche come £$uvcos(\alpha)$£, dove £$\alpha$£ è l’angolo compreso tra i due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£, mentre £$u$£ e £$v$£ sono rispettivamente i moduli dei due vettori. Per dimostrarlo si ricorre al teorema del coseno. Grazie al primo teorema dei triangoli rettangoli, si può dimostrare che il prodotto scalare £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v}$£ è anche uguale al modulo di uno dei due vettori operandi, moltiplicato per la proiezione ortogonale dell’altro vettore sulla direzione del primo.

Due vettori sono perpendicolari se e solo se il loro prodotto scalare è nullo. Infatti, £$\overrightarrow{u} \cdot \overrightarrow{v} = uvcos(\alpha)$£ può essere uguale a zero se e solo se sussiste uno dei seguenti casi:

• £$u = 0$£
• £$v = 0$£
• £$cos(\alpha) = 0$£

Nei primi due casi uno dei due vettori di partenza è nullo, mentre il terzo caso si verifica quando £$\alpha$£ è uguale a £$90^{\circ} + k \cdot 180^{\circ}$£, con £$k$£ intero, cioè quando i due vettori sono tra di loro perpendicolari.

Nello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£, abbiamo già visto come applicare il teorema di Pitagora per calcolare il modulo di un vettore £$\overrightarrow{v} = (v_1, v_2, \dots v_n)$£ a partire dalle sue componenti: £$v = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$£. Allo stesso risultato possiamo ora arrivare se nello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^n$£ è definito il prodotto scalare: calcolando la radice quadrata del prodotto scalare del vettore £$\overrightarrow{v}$£ per se stesso, otteniamo £$\sqrt{\overrightarrow{v} \cdot \overrightarrow{v}} = \sqrt{v_1^2 + v_2^2 + \dots + v_n^2}$£, che viene definita norma euclidea del vettore £$\overrightarrow{v}$£. Gli spazi vettoriali nei quali possiamo calcolare la lunghezza (o modulo) di un vettore, in quanto è definito il concetto di distanza tra due punti o, equivalentemente, le nozioni di prodotto scalare e di norma euclidea, sono chiamati spazi euclidei.

In uno spazio vettoriale £$V$£ si dice norma una qualunque funzione che assegna a ogni vettore di £$V$£ un numero reale e che soddisfa le seguenti proprietà (facciamo riferimento a due vettori qualsiasi £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ appartenenti a £$V$£, e a uno scalare qualsiasi £$\lambda$£):

1. £$\lVert \overrightarrow{v} \lVert \geq 0$£; in particolare, £$\lVert \overrightarrow{v} \lVert = 0$£ se e solo se £$\overrightarrow{v}$£ è il vettore nullo in £$V$£ (la norma è definita positiva);
2. £$\lVert \lambda\overrightarrow{v} \lVert = \vert \lambda \vert \lVert \overrightarrow{v} \lVert$£ (omogeneità);
3. £$\lVert \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \lVert \leq \lVert \overrightarrow{u} \lVert + \lVert \overrightarrow{v} \lVert$£ (disuguaglianza triangolare).

Normalizzare un vettore significa determinare il versore che abbia la stessa direzione e lo stesso verso di quello originario, ma norma uguale a 1. Per normalizzare un vettore £$\overrightarrow{v}$£ è sufficiente:

1) calcolare la norma £$\lVert \overrightarrow{v} \lVert$£ del vettore;

2) moltiplicare il vettore per il reciproco della sua norma, cioè calcolare il vettore £$\frac{1}{\lVert \overrightarrow{v} \lVert}\overrightarrow{v}$£.

Nello spazio vettoriale £$\mathbb{R}^3$£, e soltanto qui, è definito un ulteriore prodotto tra vettori, che, a differenza del prodotto scalare, dà come risultato un vettore. Questa operazione si chiama prodotto vettoriale.
Dati due vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ di £$\mathbb{R}^3$£, diciamo prodotto vettoriale tra i due il vettore £$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v} = \lVert \overrightarrow{u} \lVert \cdot \lVert \overrightarrow{v} \lVert \cdot sin{\alpha} \cdot \overrightarrow{n}$£, dove £$\alpha$£ è l’angolo formato dai vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£, mentre £$\overrightarrow{n}$£ è il versore (cioè il vettore unitario) che è perpendicolare a entrambi i vettori £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£, e il cui verso è individuato dalla regola della mano destra.
Quest’ultima dice che se apriamo la mano destra in modo che il pollice sia perpendicolare alle altre dita, e facciamo ruotare il palmo della mano in modo da far combaciare inizialmente le dita con il primo vettore, £$\overrightarrow{u}$£, e alla fine con il secondo vettore, £$\overrightarrow{v}$£, la direzione e il verso del prodotto vettoriale £$\overrightarrow{u} \times \overrightarrow{v}$£ è data dall’orientazione del pollice.