Spazi vettoriali

Uno spazio vettoriale è un insieme £$V$£ di elementi detti vettori, in cui sono definite due operazioni, dette addizione (e la sottrazione) tra vettori, e moltiplicazione di un vettore per uno scalare (cioè per un numero reale), che soddisfano le seguenti proprietà:

• proprietà commutativa dell’addizione tra vettori: £$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}$£
• proprietà associativa dell’addizione tra vettori: £$(\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) + \overrightarrow{w} = \overrightarrow{u} + (\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w})$£
• esistenza dell’elemento neutro per l’addizione tra vettori: £$\overrightarrow{v} + \overrightarrow{0} = \overrightarrow{v}$£
• esistenza dell’elemento opposto per l’addizione tra vettori: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ esiste il suo vettore opposto, che si indica con £$-\overrightarrow{v}$£, tale che £$\overrightarrow{v} +(-\overrightarrow{v}) = \overrightarrow{0}$£
• proprietà distributiva della moltiplicazione per uno scalare rispetto alla somma tra scalari: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare a e b, si ha £$(a + b) \overrightarrow{v} = a \overrightarrow{v} + b \overrightarrow{v}$£
• proprietà distributiva della moltiplicazione per uno scalare rispetto alla somma tra vettori: per ogni vettore £$\overrightarrow{u}$£, per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£, e per ogni scalare a, si ha £$a (\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}) = a \overrightarrow{u} + a \overrightarrow{v}$£
• proprietà associativa della moltiplicazione per uno scalare: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£ e per ogni scalare a e b, si ha £$a(b \overrightarrow{v}) = (ab) \overrightarrow{v}$£
• esistenza dell’elemento neutro per la moltiplicazione per uno scalare: per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£, si ha £$1 \overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}$£

Queste proprietà sono esattamente le stesse proprietà che hai imparato nella lezione precedente: come ormai sai bene, esse sono soddisfatte se le due operazioni vengono definite in modo geometrico, sul piano cartesiano o nello spazio cartesiano a n dimensioni, o anche secondo il procedimento analitico che hai visto nella lezione precedente.

Conosci già molti insiemi che sono ottimi esempi di spazio vettoriali.

1. il piano cartesiano, ovvero l’insieme £$\mathbb{R}^2$£ dei vettori del piano applicati nell’origine;
2. un sistema di assi cartesiani a 3 dimensioni (£$\mathbb{R}^3$£), o più di 3 dimensioni (£$\mathbb{R}^n$£), ovvero l’insieme dei vettori dello spazio a 3 o più dimensioni applicati nell’origine;
3. l’insieme dei polinomi;
4. l’insieme delle funzioni che si studiano in Analisi Matematica.

Nei primi due casi, l’addizione e la sottrazione tra vettori sono definite in modo intuitivo secondo un’interpretazione geometrica, e lo stesso vale per la moltiplicazione per uno scalare.

Negli altri due casi le operazioni in questione sono definite dalle regole dell’algebra e dell’analisi matematica.In tutti i casi le operazioni soddisfano le proprietà che costituiscono la definizione di spazio vettoriale.

In qualsiasi spazio vettoriale valgono le seguenti proprietà, che si possono facilmente dimostrare a partire dalla definizione di spazio vettoriale che hai visto nelle lezioni precedenti:

• dato un vettore £$\overrightarrow{v}$£, il suo vettore opposto £$- \overrightarrow{v}$£ è unico;
• il vettore neutro per l’addizione è unico nello spazio vettoriale, viene chiamato vettore nullo e viene indicato con £$\overrightarrow{0}$£ oppure con £$\mathbf{0}$£;
• per ogni scalare £$a$£, si ha £$a \cdot \overrightarrow{0} = \overrightarrow{0}$£;
• per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£, si ha £$0 \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$£;
• se £$a \cdot \overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$£, allora £$a=0$£ oppure £$\overrightarrow{v} = \overrightarrow{0}$£;
• per ogni scalare £$a$£ e per ogni vettore £$\overrightarrow{v}$£, si ha £$(-a) \cdot \overrightarrow{v} =a \cdot (-\overrightarrow{v}) = -a \cdot \overrightarrow{v}$£.

Dato uno spazio vettoriale £$V$£, si dice che un suo sottoinsieme £$W$£ è un sottospazio vettoriale di £$V$£ se esso soddisfa le seguenti proprietà:

• £$W$£ non è vuoto;
• £$W$£ è “chiuso” rispetto alla somma tra vettori, cioè dati due vettori qualsiasi £$\overrightarrow{u}$£ e £$\overrightarrow{v}$£ appartenenti a £$W$£, anche la loro somma £$\overrightarrow{u} + \overrightarrow{v}$£ appartiene a £$W$£;
• £$W$£ è “chiuso” rispetto alla moltiplicazione per scalari, cioè dato un vettore qualsiasi £$\overrightarrow{v}$£ appartenente a £$W$£ e dato un numero reale £$a$£ qualsiasi, anche £$a \overrightarrow{v}$£ appartiene a £$W$£.

Un tipico esercizio consiste nel determinare se un certo sottoinsieme £$S$£ di uno spazio vettoriale £$V$£ è un sottospazio vettoriale oppure no. Per verificarlo, occorre sempre verificare se sono soddisfatte oppure no le tre proprietà che hai visto nella lezione precedente.

In altre parole, devi per prima cosa controllare che almeno un vettore appartenga a £$S$£. Se il controllo ha avuto esito positivo, prendi in esame due vettori generici di £$S$£, sommali tra di loro, e verifica che il vettore somma appartenga ancora a £$S$£ oppure no. Se sì, devi anche assicurarti che, preso in considerazione un vettore generico di £$S$£ e moltiplicato tale vettore per un qualsiasi numero reale, il vettore prodotto risultante appartenga ancora a £$S$£. Se anche questo controllo è superato, allora £$S$£ è un sottospazio vettoriale di £$V$£.

Un generico sottoinsieme £$S$£ di £$V$£ può essere definito tramite equazioni nelle componenti dei vettori: in questo caso, si potrebbe dimostrare che £$S$£ è un sottospazio vettoriale di £$V$£ se e solo se le equazioni sono lineari e omogenee.