Esercizi svolti, appunti e video lezioni su Derivate fondamentali per la preparazione all’esame di Matematica dell’Università.

Derivate fondamentali

Ripassa le derivate fondamentali per l'esame di Matematica per l'Università. Quali sono le formule per calcolare le derivate delle funzioni elementari? Qui trovi tutte le dimostrazioni delle formule per calcolare le derivate delle funzioni potenza con esponente positivo o negativo, delle funzioni seno e coseno, dell’esponenziale e del logaritmo.

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Prerequisiti per Derivate fondamentali

I prerequisiti per imparare a calcolare le derivate fondamentali sono:

Funzione costante


La derivata prima di una costante è nulla: £$ f(x)=c \rightarrow f'(x)=0 $£

La derivata descrive la variazione di una funzione. Se la funzione è una costante, allora non cambia, cioè ha variazione nulla, e quindi ha derivata nulla.

Funzione potenza

Le funzioni potenza sono della forma £$ f(x)=x^n $£ dove £$ n $£ è un qualsiasi numero intero o razionale (una frazione). La derivata prima di una funzione potenza è £$ f'(x)=nx^{(n-1)} $£. Per la dimostrazione della formula dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale.

Derivate fondamentali: potenza con esponente negativo

Le funzioni £$ f(x)=\frac{1}{x} $£ o, per esempio, £$ f(x)=\frac{1}{x^3} $£ sono delle funzioni potenza con esponente negativo . Per trasformarle in funzioni potenza dobbiamo usare la proprietà delle potenze: £$ \frac{1}{x^n}=x^{-n}$£. Dopo questa trasformazione possiamo ancora applicare la regola delle funzioni potenza che conosciamo. Quindi se £$ n < 0 $£ è un numero intero o razionale (una frazione), allora la funzione £$ f(x)=x^n $£ ha derivata £$ f'(x)=n x^{(n-1)} $£

Funzione radice

Le funzioni £$ f(x)=\sqrt{x} $£ o, per esempio, £$ f(x)=\sqrt[4]{x^3} $£ sono radici, cioè funzioni potenza con una frazione come esponente . Per trasformarle in una funzione potenza con esponente frazionario dobbiamo usare la proprietà delle potenze: £$ \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$£. Dopo questa trasformazione possiamo ancora applicare la regola delle funzioni potenza che conosciamo. Quindi se £$ n$£ è un numero razionale, cioè una frazione, allora la funzione £$ f(x)=x^n $£ ha derivata £$ f'(x)=n x^{(n-1)} $£

Seno e coseno

La derivata del seno è il coseno: £$ f(x)=sen(x) \rightarrow f'(x)=cos(x) $£. La derivata del coseno è l'opposto del seno: £$ f(x)=cos(x) \rightarrow f'(x)=-sen(x)$£. Per fare la dimostrazione delle formule delle derivate del seno e del coseno dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, le formule di addizione del seno e del coseno, ed i limiti notevoli del seno e del coseno. Se l'argomento del seno o del coseno non dipendono dalla variabile £$ x $£, ma sono funzioni di una costante, allora sono anche loro delle costanti, e quindi hanno derivata nulla!

Funzione esponenziale

La funzione esponenziale è un elevamento a potenza in cui la base è un numero positivo e l'esponente dipende dalla variabile £$ x $£. Quindi, se la base è £$ a>0 $£, allora la derivata prima della funzione esponenziale £$ f(x)=a^x $£ è £$ f'(x)=a^x \ln(a) $£ Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la funzione esponenziale ha derivata uguale a se stessa: £$ f(x)=e^x \rightarrow f'(x)=e^x $£ Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione esponenziale usiamo la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole dell'esponenziale in base £$e$£. È per questo che compare £$ f(x)=\ln (a) $£ nella formula.

Derivata del logaritmo

La funzione logaritmica: £$ f(x)=log_a (x) $£ è un logaritmo in base £$a$£ in cui l'argomento dipende da £$x$£.
La derivata di una funzione logaritmica in base £$ a $£ qualsiasi è £$ f'(x)=\frac{1}{x}log_a (e) $£.
Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la derivata del logaritmo naturale è l'inverso dell'argomento: £$ f(x)=\ln (x) \rightarrow f'(x)=\frac{1}{x} $£
Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione logaritmica dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole del logaritmo naturale. È per questo che compare £$ f(x)=log_a (e) $£ nella formula.