Prerequisiti per Derivate fondamentali
I prerequisiti per imparare a calcolare le derivate fondamentali sono:
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Derivate fondamentali
Ripassa le derivate fondamentali per l'esame di Matematica per l'Università. Quali sono le formule per calcolare le derivate delle funzioni elementari? Qui trovi tutte le dimostrazioni delle formule per calcolare le derivate delle funzioni potenza con esponente positivo o negativo, delle funzioni seno e coseno, dell’esponenziale e del logaritmo.
Appunti
Contenuti di questa lezione su: Derivate fondamentali
Funzione costante
La derivata prima di una costante è nulla: £$ f(x)=c \rightarrow f'(x)=0 $£
La derivata descrive la variazione di una funzione. Se la funzione è una costante, allora non cambia, cioè ha variazione nulla, e quindi ha derivata nulla.
Funzione potenza
Regola generale
Dimostrazione
Le funzioni potenza sono della forma £$ f(x)=x^n $£ dove £$ n $£ è
un qualsiasi numero intero o razionale (una frazione). La derivata prima di
una
funzione
potenza è £$ f'(x)=nx^{(n-1)} $£.
Per la dimostrazione della formula dobbiamo ricordare la
definizione di derivata
come
limite del rapporto incrementale.
Derivate fondamentali: potenza con esponente negativo
Le funzioni £$ f(x)=\frac{1}{x} $£ o, per esempio, £$ f(x)=\frac{1}{x^3} $£ sono delle funzioni potenza con esponente negativo . Per trasformarle in funzioni potenza dobbiamo usare la proprietà delle potenze: £$ \frac{1}{x^n}=x^{-n}$£. Dopo questa trasformazione possiamo ancora applicare la regola delle funzioni potenza che conosciamo. Quindi se £$ n < 0 $£ è un numero intero o razionale (una frazione), allora la funzione £$ f(x)=x^n $£ ha derivata £$ f'(x)=n x^{(n-1)} $£
Funzione radice
Le funzioni £$ f(x)=\sqrt{x} $£ o, per esempio, £$
f(x)=\sqrt[4]{x^3} $£ sono
radici, cioè funzioni
potenza con una frazione come
esponente
.
Per trasformarle in una
funzione potenza con esponente
frazionario
dobbiamo
usare la proprietà delle potenze: £$ \sqrt[n]{x^m}=x^{\frac{m}{n}}$£.
Dopo questa trasformazione possiamo ancora applicare la
regola delle
funzioni
potenza
che conosciamo. Quindi se £$ n$£ è un numero razionale,
cioè
una frazione, allora la funzione £$ f(x)=x^n $£ ha derivata £$
f'(x)=n x^{(n-1)} $£
Seno e coseno
Regola generale
Dimostrazione: seno
Dimostrazione: coseno
La derivata del seno è il coseno: £$ f(x)=sen(x) \rightarrow
f'(x)=cos(x) $£.
La derivata del coseno è l'opposto del seno: £$ f(x)=cos(x)
\rightarrow
f'(x)=-sen(x)$£.
Per fare la dimostrazione delle formule delle derivate del seno e del
coseno
dobbiamo
ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale, le
formule
di addizione del seno e del coseno, ed i limiti notevoli del seno e del coseno.
Se
l'argomento
del seno o del coseno non dipendono dalla variabile £$ x $£, ma sono funzioni
di una costante, allora sono anche loro delle costanti, e quindi hanno derivata
nulla!
Funzione esponenziale
Regola generale
Dimostrazione
La funzione esponenziale è un elevamento a potenza in cui la base è un numero
positivo e
l'esponente dipende dalla variabile £$ x $£.
Quindi, se la base è £$ a>0 $£, allora la derivata prima della funzione
esponenziale £$ f(x)=a^x $£ è £$ f'(x)=a^x \ln(a) $£
Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la funzione esponenziale ha
derivata uguale a se stessa: £$ f(x)=e^x \rightarrow f'(x)=e^x $£
Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione
esponenziale usiamo la
definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole
dell'esponenziale in base £$e$£. È per questo che compare £$ f(x)=\ln (a) $£
nella formula.
Derivata del logaritmo
Regola generale
Dimostrazione
La funzione logaritmica: £$ f(x)=log_a (x) $£ è un logaritmo in base
£$a$£ in cui l'argomento dipende da £$x$£.
La derivata di una funzione logaritmica in base £$ a $£ qualsiasi è £$ f'(x)=\frac{1}{x}log_a (e) $£.
Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la derivata del logaritmo naturale è l'inverso dell'argomento: £$ f(x)=\ln (x) \rightarrow f'(x)=\frac{1}{x} $£
Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione logaritmica dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole del logaritmo naturale. È per questo che compare £$ f(x)=log_a (e) $£ nella formula.
La derivata di una funzione logaritmica in base £$ a $£ qualsiasi è £$ f'(x)=\frac{1}{x}log_a (e) $£.
Se la base è il numero di Nepero £$ e $£, allora la derivata del logaritmo naturale è l'inverso dell'argomento: £$ f(x)=\ln (x) \rightarrow f'(x)=\frac{1}{x} $£
Per la dimostrazione della regola di derivazione della funzione logaritmica dobbiamo ricordare la definizione di derivata come limite del rapporto incrementale e il limite notevole del logaritmo naturale. È per questo che compare £$ f(x)=log_a (e) $£ nella formula.
