Derivata di una funzione composta

Hai imparato a derivare le somme, i prodotti e i quozienti di funzioni elementari, e se hai una funzione composta? Una funzione composta è una funzione di funzione, cioè, per esempio, £$h(x)=\ln (sen \ x)$£, quindi è una funzione che ha per argomento un'altra funzione.

Comederivare una funzione composta? La regola per derivare una funzione di funzione si chiama anche regola della catena o derivata “a cipolla” perché devi derivare, di seguito tutte le funzioni “componenti” ossia tutte quelle che trovi una dentro l’altra, partendo da quella più esterna, fino ad arrivare a quella più interna e devi poi moltiplicarle fra loro.

Quindi, per esempio, se le funzioni sono due, £$f$£ e £$g$£, la derivata di £$f(g(x))$£ è £$ [f(g(x))]’=f’(g(x)) \cdot g’(x)$£
Perciò se £$h(x)=\ln(sen \ x)$£, le funzioni componenti sono £$f(x)=\ln (g(x))$£ e £$g(x)=sen \ x $£. La derivata è. £$h'(x)=\frac{1}{sen \ x} \cdot cos \ x$£

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.

Quando una funzione è composta da tre o più funzioni, come cambia la regola di derivazione? La regola per derivare una funzione composta va bene sia che le funzioni composte siano due o più. È sempre la regola della catena: bisogna moltiplicare la derivata di tutte le funzioni “componenti” ossia tutte quelle che trovi una dentro l’altra, partendo da quella più esterna.

Abbiamo visto che se le funzioni sono due, £$f$£ e £$g$£, la derivata di £$f(g(x))$£ è £$[f(g(x))]’=f’(g(x)) \cdot g’(x)$£
Se la funzione è composta da tre funzioni: £$f$£, £$g$£ e £$h$£ allora la derivata di £$f(g(h(x)))$£ è: £$[f(g(h(x)))]’=f’(g(h(x))) \cdot g’(h(x)) \cdot h’(x)$£...e così via.

Trovi gli esercizi su questo argomento in questa lezione.